淺析宇宙速度
2012-01-01 00:00:00葉玉琴
中學教學參考·理科版 2012年4期
一、宇宙速度（v1、v2、v3）的含義
在地面附近將物體以一定的速度水平拋射后：
1.若拋射的速度比較小，物體（包括炮彈）將沿拋物線回到地面，此時物體的運動屬于勻變速運動。
2.若拋射的速度比較大，物體（洲際導彈）仍將沿曲線回到地面，但此時物體的運動不屬于勻變速運動，因為運動過程中加速度的方向發生了改變。
3.當速度達到一定程度即第一宇宙速度v1時，物體將不再落回地面，它將繞地球運動，成為一顆人造地球衛星。
4.若拋射的速度繼續增大，當達到第二宇宙速度v2時，物體就會克服地球的引力，永遠離開地球而成為太陽系內的一顆人造行星或飛到其他行星上。
5.如果速度繼續增大到第三宇宙速度v3，物體甚至能擺脫太陽的強大引力，到其他恒星世界去旅行。
綜上所述，宇宙速度就是特殊的發射速度，第一、第二、第三宇宙速度就是分別成功發射人造衛星、人造行星和恒星際宇宙飛船的臨界發射速度。
二、宇宙速度（v1、v2、v3）的計算
1.關于v1
第一宇宙速度v1，即人造地球衛星環繞地球表面做勻速圓周運動的速度，由于近地衛星均在100km左右的高空飛行，與地球半徑R=6400km相比可忽略不計，完全可以說是在“地面附近”飛行，于是用地球半徑代表
近地衛星到地心的距離，用R表示地球半徑，M表示地球的質量，m表示衛星的質量，地球對衛星的引力或曰重力提供近地衛星環繞地球的向心力，根據這兩種說法有下列兩種解法：
解法一：根據地球對衛星的引力提供近地衛星環繞地球的向心力，由牛頓第二定律有： GMmR2=Mv21R
，于是解得v1=GMR=6.67×10-11×5.98×10246400×103
m/s ≈7.9km/s。
解法二：地球對衛星的重力提供近地衛星環繞地球的向心力，由牛頓第二定律有：
mg=mv21R，于是解得v1=gR＝9.8×6400×103m/s≈7.9km/s。
2.關于v2
解法一：以地球為慣性參考系，將質量為m可逃出地球引力范圍的物體（即人造行星）作為研究對象，從m離開地球直到脫離地球引力的過程中，若不考慮空氣阻力也不考慮其他星體的影響，則符合機械能守恒條件，m以速度v2拋出時，其動能為12mv22，引力勢能為-GMmR，M表示地球質量，質點遠離地球不斷克服引力做功，動能逐漸減少而勢能逐漸增加，擺脫地球引力時達到無窮遠，動能消耗殆盡，引力勢能達到最大值，即等于零。根據機械能守恒定律得：12mv22-GMmR=0，于是解得
v2=2GMR=2·v1=2×7.9km/s= 11.2km/s
解法二：將質量為m的物體（即人造行星）從地球表面以速度v2拋出時，其動能為12mv22，若m恰好能脫離地球引力束縛，則m飛至離地球無窮遠處速度為零，此過程中萬有引力對m做的負功為W，由動能定理得：W=0-12mv22。由于萬有引力是變力，下面通過微元法求W。設經過相距很近的兩點A、B，A距地心的距離為r，B距地心的距離為r+Δr，在無限小的區間Δr上的萬有引力的平均值可以用其中點的萬有引力GMm(r+Δr2)2來代替，于是在這一微小過程中萬有引力做的功ΔW為：ΔW=-GMm(r+Δr2)2·Δr
，下面將此式進行變形運算：
ΔW=-GMm(r+Δr2)2·Δr=-GMmr2+r·Δr+(Δr2)2·Δr，
由于Δr為無限小量，所以(Δr2)2可略去不計，于是有：
ΔW=-GMmr2+r·Δr·Δr=-GMmr(r+Δr)·Δr=-GMm(1r-1r+Δr)
將無限個微元功相加即得到萬有引力對m所做的總功W。
W=ΔW1+ΔW2+ΔW3+…+ΔWn
GMm［(1R-1r1)+(1r1-1r2)+…(1rn-1-1rn)］=-GMmR
所以動能定理的表達式W=0-12mv22可變為：
-GMmR=0-12mv22，于是解得v2=2GMR=2·v1=2×7.9km/s= 11.2km/s
3.關于v3
設物體m（即恒星際飛船）以第三宇宙速度v3拋出時，其動能為EK=12mv23，
這個動能應包括兩部分，即脫離地球引力所需的動能EK1和脫離太陽引力所需的動能EK2 ，即EK=EK1+EK2。根據第二宇宙速度可求出m脫離地球引力所需要的動能EK1，即EK1=12mv22。下面再求EK2。
由于地球繞太陽公轉的橢圓軌道的偏心率很小，因而可近似認為是圓；各行星對m的引力比太陽對它的引力小得多，也可以不計，同時忽略空氣阻力。根據v2=2·v1 ，可進行類比：
物體環繞地球的速度v1乘以2便是物體脫離地球引力所需的速度v2，那么，物體隨地球環繞太陽公轉的速度乘以2也就是物體脫離太陽引力所需的速度，（也可以利用機械能守恒定律進行證明，證明略），根據天文觀測和計算已知地球公轉的速率等于29.8km/s，所以質點脫離太陽引力所需的速率應該是：v2=2×29.8km/s=42.2km/s。
如果準備飛出太陽系的質點的發射方向與地球公轉方向相同，便可以充分利用地球的公轉速度，這樣，發射的物體在離開地球時，只需要有相對地球的速度v′，
v′=v2-29.8km/s=(2－1) ×29.8km/s=12.4km/s即可脫離太陽系，與此對應的動能為：EK2=12mv′2，因此，質點m既能擺脫地球引力又能擺脫太陽引力所需要的總能量為：EK=12mv23=12mv22+12mv′2 ∴v23=v22+v′2，
故第三宇宙速度v3＝v22+v′2=11.22+12.42km/s=16.7km/s。
以上計算的結果均為不計空氣阻力時的最低值。
(責任編輯 易志毅）
