小議利用RMI方法解題的教學(xué)

面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，人們總是自覺或不自覺地通過觀察、猜想、分析、綜合、抽象、概括等思維活動(dòng)，抓住其關(guān)鍵與本質(zhì)，對(duì)原問題進(jìn)行等價(jià)變換，使之轉(zhuǎn)換為認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的模型，通過解答這個(gè)模型，從而解答原數(shù)學(xué)題.問題的等價(jià)變換需要借助于合適的“映射”，對(duì)問題進(jìn)行邏輯演繹和計(jì)算來完成.這個(gè)轉(zhuǎn)換的過程圖示如下：

關(guān)系（relation）→映射（mapping）→反演（inversion）方法，簡(jiǎn)稱RMI方法，是實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)換過程的一種常用方法.

1 RMI方法

關(guān)系→映射→反演方法（簡(jiǎn)稱RMI方法）是徐利治先生在其著作《數(shù)學(xué)方法論選講》中提出的.從原理上看，RMI方法屬于一般化歸原理的范疇，同時(shí)，RMI方法在化歸的層面上進(jìn)行了深化和具體化，具有更好的操作性.

RMI方法可以陳述為：設(shè)有一個(gè)含未知目標(biāo)原象x的關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)=()SAxΓ

SAx=Γ，，

ψ，將未知的目標(biāo)通過映象*( )xxψ=確定出來，解出*x，再通過反演，即逆映射1ψ?，

=確定出來，RMI方法的全過程表示為：關(guān)系→映射→定映→反演→得解.

這個(gè)過程可以用框圖表示：

發(fā)現(xiàn)解法，就是在原先隔開的事物或想法之間找出聯(lián)系，這種聯(lián)系是鏈狀的，是由可定映的映射

ψ→…，不斷映射下去，直到找到解決的方法.

運(yùn)用RMI方法解決數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵在于找到合適的可定映的映射，找到了切合適用的映射，問題才能迎刃而解.用對(duì)數(shù)方法解決大數(shù)字開方、乘方的運(yùn)算就是RMI方法的一個(gè)實(shí)例；冪級(jí)數(shù)變換法解決數(shù)列結(jié)構(gòu)規(guī)律也是一個(gè)典型實(shí)例；高斯解決圓17等分問題的關(guān)鍵步驟就是將單位圓周上16個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐帕泻头纸M，使之轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的問題.

數(shù)學(xué)的美在其靈活多變，更在其萬變不離其宗.靈活多變是指通過知識(shí)間的不同組合，可以制造出不同的問題情境，萬變不離其宗是說數(shù)學(xué)是有規(guī)律的，只要掌握一定的思考問題的方法，就會(huì)發(fā)現(xiàn)原本看似沒有聯(lián)系的問題之間是相通的.

2 解題教學(xué)的過程

數(shù)學(xué)解題教學(xué)，不僅要教學(xué)生解題的方法，更應(yīng)該教學(xué)生如何去尋找解題方法的線索.下面通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明在利用 RMI方法進(jìn)行解題教學(xué)的過程中，如何引導(dǎo)學(xué)生去尋找解題的線索.

例 已知在數(shù)列{中，a，aa，求數(shù)列{的通項(xiàng)公式.

2.1 要解決的問題是什么

在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生看完題目，不知道從哪里開始著手解題，在這些學(xué)生的眼中，一個(gè)題目就像一個(gè)整的核桃，不知道從哪里咬第一口.學(xué)生的數(shù)學(xué)依據(jù)意識(shí)薄弱，他們往往不是依據(jù)數(shù)學(xué)定理或定義去解決問題，而是依據(jù)自己的直覺.有的教師在數(shù)學(xué)解題的教學(xué)中，替學(xué)生讀題、分析、尋找解題突破口、寫出算式，然后讓學(xué)生去計(jì)算這個(gè)算式.

喬治·波利亞認(rèn)為“……這些只是些按部就班的事，不需要拐什么彎了”，“我們工作中比較重要也是比較吸引人的部分已經(jīng)過去了”.

解題開始之前要問：要求的是什么？要解決的是一個(gè)什么問題？因?yàn)樗俏覀兊哪繕?biāo)，也是我們解題的切入點(diǎn).喬治·波利亞說，要在思維中確定它的位置，用圖形或符號(hào)象征性的表示出來.

我們要解決的問題是求此數(shù)列{的通項(xiàng)公式，那怎么求數(shù)列{的通項(xiàng)公式？

那就必須將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化成熟悉的模型.

數(shù)學(xué)問題往往是從讀題到?jīng)Q定下筆的第一步難，也就是第一個(gè)轉(zhuǎn)換過程往往是最困難的.

因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)的第一步是：教學(xué)生學(xué)會(huì)讀題.

研究表明，學(xué)生必須能做到以下幾點(diǎn)，才算是讀懂了題意：

①清楚目標(biāo)問題中的數(shù)學(xué)定義和概念，不清楚知道去查找課本.

②能夠?qū)⒛繕?biāo)問題進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換，即如果問題是用文字描述的，那就能夠?qū)⒅D(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號(hào)表示；如果問題是用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的，能夠用文字語言進(jìn)行解釋；能夠作圖的盡量把圖形做出來.

③通過不斷追問的方式反復(fù)訓(xùn)練，將前兩步形成習(xí)慣.無論是什么樣的問題出現(xiàn)，學(xué)生都能自然地按照這樣的思路去讀題.

對(duì)于上面的例題，如果學(xué)生沒有解決問題的頭緒，教師可以追問：什么叫通項(xiàng)公式？

通過不斷地追問，直到學(xué)生能夠確定：是以

為自變量的函數(shù).

2.2 尋找一個(gè)相關(guān)的恰當(dāng)?shù)挠成?/p>

要解決的總是建立在一定的條件上，條件就是解題的依據(jù).

問：本題中有什么條件？

學(xué)生：，.

aa?=+

追問：這個(gè)數(shù)列是我們熟悉的數(shù)列嗎？

學(xué)生：不是.

追問：那怎么辦？

學(xué)生：把這個(gè)數(shù)列轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)列，比如等差數(shù)列、等比數(shù)列.

追問：根據(jù)我們現(xiàn)有的條件，怎么轉(zhuǎn)換？

學(xué)生：關(guān)鍵在于這個(gè)條件怎么用.

aa?=+

到這里學(xué)生遇到了第一個(gè)困難：數(shù)列{既不符合等差數(shù)列的條件，也不符合等比數(shù)列的條件，因而，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為與等差數(shù)列或等比數(shù)列相關(guān)的數(shù)列，即尋找一個(gè)相關(guān)的恰當(dāng)?shù)挠成?，將原問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)已經(jīng)解決過的模型，是解決本題的關(guān)鍵. 這就需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件，尋找轉(zhuǎn)化問題的方法，這也是解題教學(xué)的關(guān)鍵所在.

通過不斷地追問，尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)挠成洌瑢⑽粗膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，將未知的數(shù)列{轉(zhuǎn)化

為等差數(shù)列或等比數(shù)列.

追問：轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列還是等比數(shù)列？如何轉(zhuǎn)化呢？可以都去嘗試看看.

學(xué)生：已知條件是，等差數(shù)列的概念是

+=+（為常數(shù)），已知條件的結(jié)構(gòu)與等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征不相符；等比數(shù)列的概念是

+=（為常數(shù)），已知條件的結(jié)構(gòu)與等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征相似.

追問：怎么將已知條件的結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為與等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征相同呢？

學(xué)生：根據(jù)

aa?=+，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列

，其中，

{ } bf a=.

追問：怎么構(gòu)造呢？

學(xué)生：根據(jù)已知條件，相鄰兩項(xiàng)系數(shù)比值是1：3，只需看是否存在常數(shù)X，使得.若存在，則可設(shè) aX+，公比為3的等比數(shù)列.

追問：怎么判斷是否存在符合條件的X？

學(xué)生：可設(shè)存在常數(shù)X，使得，則數(shù)列{為公比為3的等比數(shù)列，即

bb?=bn=3bn-1，

根據(jù)待定系數(shù)法，可得

=??，得解.

3 RMI方法解題教學(xué)的建議

（1）對(duì)原問題的分析，尋找待解決的問題與所學(xué)模型之間的關(guān)系，將待解決的問題與已經(jīng)解決的問題建立聯(lián)系.

對(duì)教師來說，如何使學(xué)生明確問題的本質(zhì)是關(guān)鍵.

（2）用RMI方法解題，關(guān)鍵在于找到合適的映

射關(guān)系.

對(duì)教師來說，引導(dǎo)學(xué)生尋找線索，從而構(gòu)造切合的映射是關(guān)鍵.

充分暴露學(xué)生思考問題的路徑，要做到這一點(diǎn)并不容易，除了需要充分了解學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，還需要教師自身在解題時(shí)，細(xì)化思

路形成的每一個(gè)依據(jù).

參考文獻(xiàn)

[1]徐利治.論數(shù)學(xué)方法學(xué).濟(jì)南：山東教育出版社，2001

[2]涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識(shí)論.南京：南京師范大學(xué)出版社，2004

[3]喬治·波利亞（劉景麟，曹之江等譯）.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn).呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1981