關于等比數列中是否存在共項成等差的理論證明

眾所周知：從數形結合的角度來說，指數函數

與一次函數是不存在兩個以上的交

并無理論證明的要求；特殊的函數——等比數列和

等差

aaaa，，，是否也是等差數列中同一位置的項）

筆者思考后認為：只有公比1q =±的等比數列中存在共項四項成等差，現給出理論證明如下.

1 極限的保號性

簡單地說，若函數在某一點在極限，那么函數在該點的某些鄰域內的正負性是一定的.也就是說在函數取得（或趨向）極限的一個范圍（這個范圍

很小）內，函數的正負號是確定的，是正、是負或是零，即函數在這個范圍內的符號是唯一的.

2 費馬引理

設函數( )f x在點

f xf x≥），那么：函數( )f x在點

f′.

證明 不妨設對任意

f x′存在，故f xfxfx

[]a b，

()a b，內可導，且在區( )( )

f a內至少有一點

f b

=，那么在()a b，ζ，使得函數( )f x在該點數等于零，( )0f的導即ζ′=.

明 （1）若( )理顯然成立

（f x不是常函數，則( )f x在內至少有

m中至

等，不妨設( )Mf a≠，則至少存在一點()a bζ∈，( )，使fMζ=，則由費馬得：引理

義：在上每一點都可導的連續函數上，若曲線上的兩端點的高度相等，則至少存在一條水平切線.

4

公比時

q >1q≠

記等比數列{ } a，公比為q，則等比數列通項公式為

nc aa

=+?，對比兩個數列通項公式，若存在四項既為等比數列中的項又為等差數列中的項，則只需要研究：

+?是否有公共項？（兩者不一定在同一個處取到）

n

f xq=與( )g xkx b=+在區間上是否有四個交點. F xf xg xqkx b=?=??，若存在四個不==，，，，即

F xi==，，，，且，函數( )

()xx，可導，且

()

F xF x=，由羅爾（Rolle）定理，存在

xx，)上顯然單

0(1 2 3)i

f xg xi==，，，，即公比

且1q≠的等可能存等差比數列中不在四項成.

證明中，個品：公比

q≠的等比數列中不可能存在三項成等差. 4.2 公比且

0

q <1q≠?時

此處證明比4.1負數時n

q

∈N均有意義，但是相對應的函數

(0)>不是處處連續.不妨研究1q

q?和()xq??兩函數圖象上，如圖1： 所示

四項成等差數列，

若在此等比數列中存在即指數函數

f xq=??與一次函數

( ) g xkx b=+在上有四個交點，由4.1證明可知， 2( )f x上；由4.1證明中得到的副產品可知：也不可能有三個點在1( )f x上另一個點在2( )f x上（或者三個點在

2( )f x上另一個點在），于是：各有兩個1( )f x和

2( )f x上.下面證明這種情況也是不可能的(10)qk

f xq=?與( )g xkx b=+存在兩點

，，，，，

=+ +，

qq

=??，得：′，由零點判定定理可知：連續可導函數在

f xq=??與( )g x =有唯一交點

kx b+只

x，可知假設不成立.

同理可證：1q

10q

5 結論

綜上所述，可知：

（1）公1q =±的等比數列中顯然存在共項四項成>且

等差數列；

（2）公比q1q0≠的等比數列中，不存在共項三項（含三項）以上成等差數列；

（3）公比且10 q

想：公比

6 猜想

通過上述證明，筆者提出一個新的猜

猜想3 0q <且的等比數列中，是否存在共項三項成等差數列？本文未有進行解決，請有興究.