基于考試的函數與方程思想研究

恩格斯曾經這樣刻畫函數：“數學中的轉折點是笛卡兒的變數.有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了.” 而函數與方程思想則是對函數與方程進一步認識和概括的基礎上形成的一般性觀點，它貫穿整個中學數學課程的始終，蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中，因此，它在中學數學中有著舉足輕重的地位，對它的考查是數學高考的的必然之舉.

1 函數與方程思想的內涵

函數的思想，實質是拋開研究對象的非數學特征，用聯系和變化的觀點提出數學對象，用集合與對應的思想抽象出對象的數學特征，利用函數的有關性質解決問題.

方程的思想，則是分析數學問題中變量間的等量關系，運用方程的性質去分析、轉化問題，進而解決問題.

函數思想與方程思想是相輔相成的，函數思想在于揭示問題中數量關系的本質特征，從變量的運動、變化、聯系和發展的角度研究問題；而方程思想則是動中求靜，研究運動中的等量關系.

2 函數與方程思想的考查回顧

對函數與方程思想的考查，是歷年高考的重點，而且考查力度在逐年增加，幾乎滲透高中數學的每一個模塊，每一個知識點.

2.1 對函數與方程思想本源的考查

函數的有關概念及有關性質與方程的有關理論是函數與方程思想的本源.在課標課程高考中，全方位、多層次的考查函數與方程的基礎知識和基本性質，是每年的重點和熱點.

2.1.1 函數與方程性質是函數與方程思想的核心內容

函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值，方程的有關理論是函數與方程思想的核心內容，它們往往形影不離，互為依托.

例1 （2009年高考福建卷·理10）函數( )=f x

1 2，1 4，

C.{ D.{}

1 2 3 4，，，1 4 16 64，，，

評析 本題主要考查二次函數圖象和性質，方程的根，復合函數的性質，是一道集方程與函數，數形結合，轉化與化歸，特殊與一般等思想于一體的好題.考生要能深刻理解二次函數的圖象的對稱性，真正體現了多思少算，能夠明顯甄別學生的思維層次，具有一定的選拔功能.本題很好地體現了課標的核心：重視三基，注重培養學生的數學素養和思維能力.

2.1.2 數形結合是運用函數與方程思想解題的直觀手段

《課標》強調：加強幾何直觀，重視圖形在數學學習中的作用，鼓勵學生借助直觀進行思考.函數圖象既可以看作是函數的一種特殊的表示方式，又是用來分析和解決問題的重要方法.

例2 （2009年高考山東卷·理16）已知定義在上的奇函數

R

( )..

評析 本題綜合考查了抽象函數的奇偶性，單調性，對稱性，周期性，運用了數形結合及函數與方程的思想.是否能由(4)( )

草圖，以形助數解決問題，給人以“一橋飛架南北，天塹變通途”的感覺.

2.1.3 導數是運用函數與方程思想解題的重要工具

導數在高中數學中可以說是“叱咤風云”，具有深刻的內涵與豐富的外延，在應用中顯示出獨特的魅力和勢不可擋的滲透力.它是解決函數方程、不等式、數列和曲線等問題的利器，是溝通初等數學與高等數學的橋梁.

例3 （2011年高考全國卷Ⅰ·理21）已知函數

評析 第（Ⅰ）問突出考查方程思想.第（Ⅱ）通過構造新函數解決不等式，構造的依據是不等式中隱含的函數關系，又應用導數、二次函數及二次方程根的有關理論解決問題，突出考查了函數與方程思想，體現導數的工具性功能，考查考生綜合處理問題的能力.

2.1.4函數零點與方程的解是函數與方程思想統一性的體現

例4 （2009年高考福建卷·文11）若函數( )f x的零點與( )422x

f xx=?

評析 本題主要考查了函數、零點、方程問題，應用導數與零點存在性定理求解，充分體現了函數、零點、方程的統一性，突出考查了函數與方程思想.

2.1.5 高等數學知識的滲透是函數與方程思想的內在需求

隨著課標課程改革的不斷推進，高考試題越來

越重視初、高等數學知識的銜接.一方面，以高等數學知識命題，體現了《考綱》對高考試題命制的創新要求；另一方面，這類題目命題立意新，情境新，思維價值高，能很好地考查考生的閱讀理解能力、知識遷移能力、分析問題解決問題的能力，以及進入高校學習的潛能，因此這類考題成了高考試題中的一道亮麗的風景線.

福建省高考近幾年很關注高等數學知識的滲透，讓高等數學“搭臺”，中學數學“唱戲”，涉及極限、仿射變換、集合的加法封閉性等等.

2.2 以其它知識點為載體的函數與方程思想的考查

函數與方程思想研究的是變量與變量的依賴關系，因此只要蘊含幾個變量之間函數關系的問題均會涉及函數與方程思想，它必然會跨越函數，也跨越方程，跨入到不等式、數列、解析幾何、立體幾何、實際問題等領域.

2.2.1 以不等式為載體

函數與不等式可以相互轉化，應用函數與方程思想處理不等式問題，關鍵在于構造一個適當的函數和用好方程理論，弄清函數、方程及不等式的內在聯系，樹立相互轉化的觀點.

例5 （2010年高考天津卷·文16）設函數

=?，對，恒成立，則實數的取值范圍是________.

，()( )0f mxmf x+<

m

評析 本題主要考查了恒成立問題的基本解法、函數與方程思想、分類討論思想等，它是通過分離變量構造函數轉化為求函數最值的方法來求解的.

2.2.2 以數列為載體

數列的通項公式及前項和公式實質上是定義在正整數集上的函數，因此可利用函數思想與方程的思想來解決有關數列問題.

+ ++?+2

33 nn

EA C′的中點，求證：A BDE′⊥.

評析 本題關鍵在于發現體積隨著的變化而變化，這就是函數與方程思想的本質所在，因而可以根據相關條件，確定目標函數，應用導數、不等式等知識解決問題.一般地，立體幾何中對于求最大值、最小值的實際問題，通過建立數學模型和函數關系式，然后利用函數性質、重要不等式和有關知識進行解答，有效地考查了函數與方程思想.

2.2.4 以解析幾何為載體

例8 （2009年高考福建卷·文22）已知直線2xy? 20

（I）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；（Ⅲ）略.

評析 第（I）問突出考查方程思想.第（Ⅱ）問設直線AS的斜率為，建立||kMN與的函數關系，是解此題的關鍵.

因此，不管以什么知識為載體，只要是關于數集與數集，變量與變量的關系問題無不體現函數與方程的思想，它是跨考點，跨模塊，跨題型的.

3 函數與方程思想的考查展望

3.1 注重本質，強化基礎，依托主干，凸顯函數與方程思想

函數是數學永恒的主題，是函數與方程思想的本質.導數是研究函數的有力工具，又是高等數學的基礎.因此，課標課程高考強化了對函數基礎知

識的考查.函數、導數與其他知識結合形成了層次豐富的各類綜合題，可以充分考查學生的數學基礎知識和基本技能，又可考查蘊含其中的以函數與方程思想為主的多種思想的交融，多種能力的交叉，從中考查學生繼續學習所必需的數學素養和潛能.因此，函數與方程、導數、不等式等知識的交匯是考查函數與方程思想的必然選擇.

3.2 注重應用，回歸生活，超越生活，凸顯函數與方程思想

《課標》中提出“發展學生的數學應用意識”.因此，數學高考“堅持數學應用，考查應用意識”.函數應用性問題貼近生活，而解決這類問題所涉及的數學知識，數學思想和方法都是《考綱》中要求掌握的主干知識和主要思想方法.特別地，以函數與方程的思想為指導構建函數模型，可以充分考查學生推理論證能力，抽象概括能力，運算求解能力和應用意識.因此，考查應用題是考查函數與方程思想的重要選擇.

3.3注重交匯，規避模式，拓展創新，凸顯函數與方程思想

以函數與方程思想中的運動變化的觀點為指導考查算法初步、定積分、概率統計等知識，可以規避試題“模式化”，使得試題更顯新穎、活力.

綜上所述，函數思想與方程思想是對立統一的，是相輔相成的.唯物主義指出：運動是絕對的，靜止是相對的.這，正是函數與方程思想的本質所在.以各種知識點為載體的函數與方程思想的考查可以充分體現學生的不同的思維層面，甄別學生的不同的能力層次，因此，它是數學高考的永恒話題.