一道競賽試題的解法探究

2011年全國高中數學聯合競賽一試（A卷）中第2題，試題簡約，寓意深刻，考生可以從多個角度切入，很好地考查高中數學常見的一些思想方法以及學生對基本知識、基本技能的掌握情況.本文擬從四個角度出發，對該題目進行初步的剖析，以期引發更多的思考.

題目 （2011年全國高中數學聯合競賽一試試題（A卷）第2題）函數f( x )= xx2+11的值域是.

評析求函數的值域，關鍵在于研究函數的最值，而函數的最值與函數的單調性密切相關，此函數的圖象性質我們是不熟悉的，故可借助導數工具去研究.有了函數單調性的信息，再用極限的思想去研究函數值在一些邊界點的變化趨勢，就可將函數的草圖畫出，進而得出函數的值域.本解法意在要求同學們學會用研究函數的一般方法去探究其他陌生函數的性質.

本文從四個不同的角度對上述問題做了一個初步剖析.解法四想法最自然，當直接面對一個看似“陌生”的函數時，要學從研究函數一般方法探究它的性質；解法一、解法三都是化“無理”問題為“有理”問題，體現了數學中重要的轉化思想；解法二角度新穎，從方程、曲線角度看待函數存在問題.這其中所涉及到的思想方法都是高中階段同學們應該認真領會、掌握的內容，希望同學們在學習過程中做個有心人，始終站在數學思想方法的高度去統領我們的解題活動，惟有此，我們才能在短暫的時間里迅速地抓住題目的本質，實現優質高效的解題.