數學解題中思維定勢的負面影響及對策

　　摘 要： 高一、高二課程較緊，復習的時間少，課改后數學知識又分為不同的模塊，數學知識較為分散，這就容易形成思維定勢。思維定勢在高三數學總復習中的負面影響尤為突出，受思維定勢的影響而產生的解題錯誤有許多。在教學中可通過比較正解與錯解，幫助學生從思維定勢中走出來，使學生的思維更深刻，從而提高學生的數學素質和創新精神。
　　關鍵詞： 數學解題 思維定勢 負面影響 對策
　　
　　在高一和高二數學新課的教學過程中，總是突出本節內容重要性和某種方法的優越性，并且配備的相應的練習、習題往往只與某種單一的解題方法有關，而且高一、高二課程比較緊，復習的時間少，課改后數學知識又分為不同的模塊，使數學知識較為分散，這就容易形成解決某類問題時總采用相應的固定方法的思維定勢。
　　思維定勢是指人們在較長一段時間的實踐中形成的一種習慣了的思維方向和方法。這種相對固定的思路在分析問題、解決問題的過程中存在著兩面性。其積極的一面是有章可循的，學生容易掌握，并且在之后學習類似的新知識時得以較快地理解；其消極的一面是學生往往擺脫不了機械記憶和被動模仿的束縛，因循守舊，甚至出現負面影響。這不利于提高學生分析問題和解決問題的能力。長此以往，則缺乏創新意識和創新能力。
　　在高三數學總復習中，思維定勢的負面影響尤為突出。比如學生遇到直線和圓錐曲線的位置關系的題目時，都是不加思考地把直線方程代入圓錐曲線方程，得到一元二次方程后再用韋達定理，而有時此法根本行不通。這種因思維定勢的影響而產生錯誤有許多，因此，消除思維定勢所帶來的負面影響，不但可以提高三數學總復習的效果，更重要的是有利于培養學生的數學素質和創新精神。下面從三個方面進行討論。
　　1.揭示本質，克服思維定勢中的惰性狀態，培養思維的深刻性。
　　對于數學概念，不能只停留在表面的語言敘述、符號和圖形，應揭示其本質屬性（內涵）；而對于公式，定理也不能只知其形，不究其本。特別是對于因類似而容易混淆的概念，公式，定理，更要抓住其實質。看下面兩題：
　　①《必修4》P147第9題：已知函數y=（sinx+cosx）+2cosx，求它的最大值與最小值.
　　②（2005年全國卷I）當0＜x＜時，函數y=的最小值為（ ）
　　A.2 B.2 C.4 D.4
　　對于第①題要用到倍角公式：cosx=得y=2+sin2x+cos2x。通過學習這個公式并多次練習后，學生就找到規律：三角遇平方就降冪。對第②題學生會條件反射地用倍角公式：sinx=得y=，要進行下去就只好利用導數或直線的斜率，把問題復雜化了。這就是思維定勢產生的負面影響，數學解題最怕生搬硬套。第②題略解如下：
　　y===4tanx+≥4
　　解數學題時應多想幾步，這和下圍棋是同樣的道理，“棋高一著”往往只是比對手多看一步，這就需要克服思維定勢中的惰性狀態，培養思維的深刻性。
　　2.多方聯想，克服思維定勢中的封閉狀態，培養思維的廣闊性。
　　聯想是由一事物想到另一事物的思維活動，是頭腦中各種數學形象的聯系，是由一個意象（數學形象）聯系另一個意象的過程，或者是由一個已知意象喚起另一種意象。通過分析題意，看到條件與結論中蘊含著一些似曾相識的內容，包括已經學過的定義、定理、公式、性質、圖像等之間有何聯系，這就需要多方聯想。如在復習《函數與方程》一節中有這樣一道題：“求方程lnx-x+1=0的實數根的個數.”許多學生是這樣解決的：先把方程變為lnx=x-1，然后在同一坐標系下分別畫出兩個函數圖像，再用數形結合得出2個實數根的錯誤結論。為了讓學生知道他們出錯的原因，我用《幾何畫板》作出正確的圖像如下：
　　如上圖可知：實際上g（x）=x-1是f（x）=lnx的切線，因此g（x）=x-1和f（x）=lnx只有一個交點（1，0），即方程lnx-x+1=0的實數根只有1個。而用手和筆是很難畫出如此精確的圖像的。數形結合思想是高中數學的重要思想方法，教師上課時往往會強調它的重要性并要求學生反復練習，這可能會產生思維定勢。上面的例子這就是思維定勢產生的副作用，只單向固定思維，不重視多向思維，也就是說思維進入封閉狀態。運用數形結合思想分析解決問題時，要注意由于圖像不能精確刻畫數量關系所帶來的負面效應。考慮另外的方法，從方程的實數根聯想到函數的零點，就找到解決問題的入口。構造函數f（x）=lnx-x+1，此函數的圖像用高中的知識不易畫出，于是想知道它的變化趨勢即函數的單調性，所以又聯想的導數，那么正解是：
　　令f（x）=lnx-x+1，定義域為（0，+∞），
　　由f′（x）=-1＞0得0＜x＜1；f′（x）=-1＜0得x＞1.
　　在f（x）上（0，1）為增函數，在（1，+∞）上為減函數，在x=1處有極大值f（1）=0，
　　原方程只有一個實數根x=1.
　　聯想是由一個意象通向另一個意象的橋梁，它不但能使人們頭腦中的意象不斷豐富，而且能克服思維定勢中的封閉狀態，培養思維的廣闊性。
　　3.發揮想象，克服思維定勢中的保守狀態，培養思維的創造性。
　　想象是指在某種意象（引發物）的啟發下，通過一系列聯想來檢索已儲存的意象，再進行加工分解，反復探索，結合相關的知識而構想出新的意象（創造物）的過程。愛因斯坦的相對論、牛頓發現萬有引力都是因為有了想象力。想象力對發明創造起了重要作用。如中國人宋有洲設計發明的上層載客下層通車不用停車場的“立體快巴”在世界上引起轟動，這項發明在今年的北京科博會上首度公開亮相后就一炮走紅，還登上了《紐約時報》的封面。美國網友驚呼：“中國人太有想象力了，美國創新能力走下坡路，已被中國‘打敗’。”豐富的想象力對學好高中數學也起了重要作用。
　　例如：兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）
　　A.1個 B.2個 C.3個 D.無窮多個
　　此題是我所在學校高三總復習的一道階段考試題，學生大多數選A，理由是：這個幾何體的六個頂點都與正方體的六個面的中心重合，這樣就只有1個，學生把此幾何體固定成正八面體。也就是思維出現了定勢，把問題想得太簡單，缺乏空間想象能力。正解如下：
　　作平行于底面的中截面，如上圖2，再作此正方形的內接正方形，顯然有無窮多個內接正方形（因點A可以上下移動），且內接正方形的邊長都不相等，于是正方形的面積也都不相等，最后讓幾何體的上下兩個頂點與正方體的上下兩個面的中心重合，這樣所得的幾何體的體積就有無窮多個。對比正解和錯解，可以發現不僅考慮問題應全面，而且要發揮空間想象能力。教師教學時應引導學生深入探究，合理想象，克服思維定勢中的保守狀態，培養思維的創造性。
　　因此教師要鼓勵學生大膽地發揮想象，克服思維定勢中的保守狀態，培養思維的創造性。
　　當然，不應只是在高三數學總復習中，而應在高一、高二的教學中，在充分發揮思維定勢積極作用的同時，還要注意克服思維定勢的負面影響，提出某種方法、“模式”的使用條件、使用范圍，甚至局限性。當學生出現因思維定勢產生的錯解時，應通過比較正解與錯解，幫助學生從思維定勢中走出來。充分發揮學生在他們這個年齡豐富的想象力，應該拒絕那種“對題型，背套路”式的解題策略。在每章的復習課、習題課上，適當配備一些綜合性習題，以加強各章知識與方法的縱向及橫向聯系，把培養學生“具體問題具體分析”的習慣和綜合解題的能力貫穿于數學教學的全過程中。
　　
　　參考文獻：
　　［1］波利亞（Polya）.數學與猜想.
　　［2］斯根普（R.Skemp）.學習數學的心理學.
　　［3］葉瀾.中國教師新百科中學教育卷.2002.8.
　　［4］王忠.解析立體幾何中的創新試題.中學數學研究，2007，（2）.