淺談初中數學教學中學生概括能力的培養

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1008-925X(2011)05-0227-01

數學概括是一種特殊的概括，這種能力是在數學、符號和圖形范圍內的概括能力，她是求同、求異、比較、聯系，不斷綜合的過程，例如，學生掌握整數、分數的知識后，可以概括歸納有理數，使概念擴大，學生了無理數之后，又可把有理數和無理數概括為實數，從而掌握系統的數學知識。

一、培養概括能力的意義

1、學生接受的知識主要是已經概括的間接的數學知識，但這些知識必須經過學生自己的數學活動，進行分解，理解，內化才能轉化為自己的知識。

2、對數學教材的概括，在對知識的概括過程中，學生會發現知識的漏洞，查陋補缺，從而在概括以后，對知識的總體有一個完整地的認識。只有具有系統蝦的知識結構，才能真正融會貫通地理解知識。

3、學生通過概括，把所學內容蝦成知識網絡。其中理解、分析的過過程都省去或用符號代替了。幾十頁，幾百頁書上的內容完整地呈現在一張紙上，一目了然，便于復習和應用。比如，學完了圓，對初中圓的知識進行總體概括，就不致于對“圓”望而生畏了。

(1)角的定理：圓心角、圓周角、弦切角、弧、弦、弦距的關系。

(2)垂徑定理：弦、弧、半徑、邊心距——解直角三角形——正多邊形、邊、圓心角、半徑、邊心距、周長、面積。

(3)點、線、圓與網的位置關系：圓冪定理。

4、概括對學生心理起著重要作用。如記憶，人腦只能在短期內儲存有線信息，為了減少記憶負擔，必須對知識加以組織，知識間的聯系越合理，互相聯系程度越高，就越有利于形成知識組塊，有助于記憶，提取，再生。而數學的記憶不具有自己的特性，數學記憶的本質在于對典型的推理與運算模式的概括的記憶。有能力的學生的數學記憶，在數與字母符號方面是具有概括性和運算性的，它與概括的智力模式及關系的保持是迅速再現的關系。記憶有明顯的選擇性，它只能以概括和簡略的形式保持信息。試想：如果每個公式，概念及其推廣都要作為一個結論去記憶，那么推廣的越多，記憶的負擔就越重了。

對知識進行概括以后，對學生的解題心理狀態也有很重要的影響。學生在概括知識內容后，知識結構就完整地沒有遺漏的呈現出來，心理上就會有一種整體感和踏實感。覺得一點東西都是自己學過的，即使出現異樣，人家也是如此，則可以充滿自信的把題目分解，類比成已知的知識，從而把題目做完整。而不至于認為人家有辦法而自己的不知道以至于中途放棄解題，實踐中往往有學生在老師分析答案時就大叫：“我也是這么想，可惜就是沒做到底。”

5、歸納、概括數學知識是指在接觸較多材料和類比材料的關系后提煉出來的，它把知識的本質聯系提取出來了，這樣就有利于時行變式訓練，而不至于要通過題海戰術達到“熟能生巧”的目的的。

二、概括能力的年齡特點

從初中數學來分析，概括能力可以分為三級水平：一級水平是數字概括：二級水平是形象抽象概括，開始了解代數概括但仍需要具體的經驗幫助理解數學知識：三級水平根據假定進行概括，完全拋開算術的框圖進行運算、定理、公式等形式的運算成為理解數學概念的主要手段。

三、概括能力的體現方式

1、對數學教材的概括。學生數學知識的獲得本身也是一個數學活動的過程。為了獲得一個新的數學概念，首先要對具體事例進行選擇，這種選擇要能有助于概括出形成概念的本質屬性。同時對這些概念的比較，有比較才有鑒別，才能產生概括。這種比較包括相對概念的類比，同類事物的比較，易混淆概念的比較等。通過比較，判斷哪些屬于基本屬性，哪些屬于非基本屬性，把這些本質屬性從中分離出來，進行整理，以建立正確的數學概念。更高層次概括，是對概念進行結構整理，以形成一個知識體系。

2、對計算、推理、論證方式的概括。從計算來講，一種計算方法實際就是一個概括，對解題程序，技巧、方法及解題思想的概括也是按不同層次水平進行的。首先是對適用于一類的題的解法通性的概括，如對二次方程的解法，對根式方程、分式方程、方程組的解法……。在這些解法的通性中可以概括為更一般的數學方法，它可以適用更廣泛的數學領域，如換元法、配方法、待定系數法……，而這些方法則是更高層次數學思想的體現，這樣層層遞進的概括，以至形成強烈的數學意識，這種過渡也是從“外部的要求”向“內部的要求”的過渡。

3、對解題規律的概括。讓解題規律的概括成為學生學習活動的一項重要內容。數學是用數學符號語言對周圍客觀世界的空間形式和數量關系進行的概括。學生對解題規律的概括，總結則是一種特殊的概括，要求學生在解題后，進一步把特例納入一個已知的更一般的范圍，加深對已知的有關規律的認識或從孤立，特殊的解法中，看出一般尚未為他人所知的規律，由特殊到一般。讓學生概括解題規律是十分有益的，它對提高學習效率，提高學生解題方法和解題速度，發展概括能力，促進思維向更高層次發展有著重要作用。有些教師擔心強調對解題規律的概括、總結會造成一種限制學生思維，不利于學生思維品質優化心理定勢。這種擔心不無道理，關鍵在于如何正確的去概括、總結解題規律。實際上，整體數學教學的目的之一就在于建立符號思維要求的具有數學方法論意義上的心理定勢。這種觀念系統的重要組成部分是數學思維能力的具體體現，是數學素養的重要標志，使學生終身受益。

4、對題型的概括。如：對應用題類型的概括：工程問題、行程問題、濃度問題、配比問題、數學問題等。

四、養概括能力的方式

1、正面突出對學生概括能力的要求。按學生的年齡特點先給予示范，學生模仿，然后要求學生隨時進行概括，并養成習慣。如要求學生每堂課后概括所學內容，每一章后概括，歸納知識點、題型，期中、期末考試前對所學內容要求的滲透。

2、抓住典型題目。在學生最需要或者最渴望尋找統一規律(“萬能公式”)時進行概括能力的培養是最好的機會。讓他們體驗概括能力的迫切需要，讓他們嘗到題目概括后的甜頭和成就感。

3、概括過程是一個類比、分析、綜合的過程。概括能力與其他的數學能力是分不開的。同時在培養概括能力的同時也對其他能力有一個相應的提高。概括能力的培養是一個不斷漸進的過程，先要引導學生從易處入手，引導學生品嘗概括后的喜悅感、成功感和美感，同時要激勵和鼓勵學生，不斷提高自身獨立思考的能力。