一個偶極量子氣體爆破的新準則

王洪莉, 黃 娟*

(1. 四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學 可視化計算與虛擬現實四川省重點實驗室, 四川 成都 610066)

考慮如下描述偶極量子氣體的Gross-Pitaevskii方程

(1)

其中θ=θ(x)是x∈R3和偶極軸n∈R3(|n|=1)間的夾角,即cos如果n=(0,0,1),則對x=(x1,x2,x3)∈R3,其偶極相互作用核還可以表達為

(2)

本文先介紹一些預備知識,如方程的局部適定性和varial恒等式等;然后給出本文的主要結論及證明.

1 預備知識

對于方程(1),定義如下空間

其中H1(R3)=W1,2(R3)是Sobolev空間，其內積和范數分別是

〈φ,φ〉

下面,將回顧Cauchy問題(1)的局部適定性.

命題 1.1對λ1,λ2∈R,φ0∈Σ(R3),存在時間T+,使得Cauchy問題(1)有唯一解

φ∈{φ∈C([0,T+];H1(R3));φ,▽φ,xφ∈

即要么T+=+∞(整體存在),要么T+<+∞,(爆破).當t∈[0,T+)時,Cauchy問題(1)的質量泛函和能量泛函是守恒的:

(3)

(4)

其中

引理 1.1令φ0∈Σ(R3),φ是方程(1)的解.設

當y(0)<∞時,下列等式成立:

(5)

引理 1.2[5]假設λ1、λ2滿足(2),對任意φ∈H1(R3),都有Φ(|φ|2)≥0(當φ(x)=0時,Φ(|φ|2)=0)，即

其中σ>0滿足

2 爆破條件

定理 2.1假設φ0∈Σ(R3),y(0)<∞,E[φ0]>0.若滿足

其中ω2=min且

(7)

則Cauchy問題(1)的解將在有限時間內爆破.

證明由(4)和(6)式知

λ2(K*|φ|2)|φ|2)dx=

通過引理1.2得

(9)

又有ω2=min結合內插不等式可得

‖φ‖

(10)

則(9)式可化為

t∈[0,T+).

(11)

令y(t)=ymaxν(s),s=at,其中

y

(12)

再由(11)式可知

ν

(13)

利用Lushnikov在文獻[16]中提出的一個粒子在帶勢壘的場中運動的力學類比,(13)式可重新記為:

νss=F1+F2,s∈[0,T+/a),

(14)

這里ν=ν(s)是在帶勢壘場中運動的粒子,它受F1和F2兩個力的作用,其中，

為粒子ν的電勢,F2=-g2(s)是一個將粒子ν拖向零點的未知力.若粒子在有限的時間內到達零點(ν(s*)=0,0

ν

(15)

定義粒子ν的能量

(16)

1)ε(0)

2)ε(0)>Umax,νs(0)<0;

3)ε(0)=Umax,νs(0)<0,ν(0)<1.

由ε

1)?-f(ν(0))<νs(0)

2)?νs(0)<-f(ν(0));

3)?ν(0)<1,νs(0)=-f(ν(0)).合并條件1)～3),得

ν

(17)

由y(t)=ymaxν(at),可推出

綜上可得

其中g由(7)式定義.