企業負債的違約風險測度

［摘要］ 信用風險對于銀行、債券發行者和投資者來說是一種非常重要的決策影響因素。本文根據企業資產中債權和股權之間的相互關系，認為股權價值是基于公司資產價格的期權費用，根據戈薩諾夫定理，利用風險資產貼現價格是在特定的概率測度下的鞅，得到了衡量企業負債違約風險的計算公式。

［關鍵詞］ 企業負債；違約風險；鞅；測度變換

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2011 . 17. 041

［中圖分類號］F830.5 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1673 - 0194（2011）17- 0072- 03

１ 引言

違約風險（Dｅｆａｕｌｔ Rｉｓｋ）又稱信用風險（Ｃｒｅｄｉｔ Ｒｉｓｋ），是指交易對手未能履行約定契約中的義務而造成經濟損失的風險，即受信人不能履行還本付息的責任而使授信人的預期收益與實際收益發生偏離的可能性。違約風險是金融風險的主要類型，它通常針對債券而言。違約風險越高，投資者則要求發行人為高風險支付更多利率。因此，通過考察利息率（貼現率）的高低可以表示公司負債違約風險的高低［１，２］。

公司債券和股票對于公司的收益的分享是不同的［３］。假定一家公司共有兩種融資方式：債券和股票。債券持有者因借錢給公司，所以對財產索取具有優先權。假如公司破產，債券所有者可以索取公司的剩余價值，一般剩余價值往往會小于本金。例如債券持有者借給公司１億元，公司的剩余價值只有４ ５００萬元，那么，債券所有者只能在借出的１００元中拿回４５元。股票所有者則不能拿到任何剩余資產，股票持有者所持股票一文不值。只有當公司業績上升時，股票持有者的收益才會豐厚；當公司業績不景氣時，股權持有者的收益也不好。可以看出，股權持有者的收益比債券持有者的收益變化幅度大。不過，股權持有者擔負有限責任，這一規則使得股權持有者的最大損失不會超過股票投資價值。因此，股權的收益好像擁有以公司資產為標的資產的看漲期權［４-５］。

２ 鞅及測度變換

隨機過程｛ｘｎ，ｎ≥０｝稱為關于｛ｙｎ，ｎ≥０｝的鞅，則Ｅ［ｘｎ＋１｜ｙ0，ｙ１，…，ｙｎ］≤xn。

從定義可以看出，如果一個隨機變量的時間序列沒有表現出任何的趨勢性，就可以稱之為鞅；如果隨機變量序列趨向上升，則稱之為下鞅；反之，若該過程趨向減小，則稱之為上鞅。實際上鞅是一種用條件數學期望定義的隨機運動形式，或者說具有某種可以用條件數學期望來進行特征描述的隨機過程。鞅是用條件數學期望表達的隨機過程，因此，鞅的數學期望形式基于相應的概率測度，一旦概率測度（或者分布）發生變化，那么原來的鞅隨機過程就可能不是鞅了。同時，也可以通過測度變換，把任意的隨機過程轉化為鞅。這樣，可以在計算中采用比較容易計算的概率測度，如果需要也可以轉化為原來的概率測度，這為計算數學期望提供了巨大的方便。

戈薩諾夫定理說明給定維納過程wt，把它的概率分布ｄＰ乘以拉登－尼克迪姆導數（Ｒａｄｏｎ－Ｎｉｋｏｄｙｍ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ）ξt，就可以獲得一個新的維納過程ｗｔ′和相應的概率分布Ｑ，這兩個過程相差一個Ｆｔ－可測的漂移項βｔdt。

３企業違約風險

根據以上對公司資產、股票、債券的敘述，提出如下假設：

（１）允許賣空股票，沒有交易費用、稅收和保證金，證券高度可分，交易連續。

（２）公司債券、股票沒有紅利支付。

（３）無風險利率ｒ為常數，并且對所有到期日都相同，投資者可以此利率無限制地存款或貸款。

（４）不存在無風險套利機會。

（５）信息結構由布朗運動產生。

（６）企業資產Vt，企業股票St，企業負債Dt，則Vt =St+Dt。

４數值模擬

假設一個公司，現在資產為１２０萬元，資產由股票和債券組成。假定債券在５年內到期，到期面值為１００萬元，不支付任何利息。假設股票在今后５年內也無任何紅利；無風險利率６％，公司資產的波動率為每年２５％。利用上述公式進行計算，可得股票價值為５１．４５萬元，風險債券價值為６８．５５萬元，風險債務的利息率為７．５５％，可以看出股票價值加上債券價值等于公司的總資產，即１２０萬元。風險債券的利息率是７．５５％，這一利率高于無風險利率（６％）１．５５％，采用這個利率得到５年期面值１００萬元的無息債券的現值為６８．５５萬元。

通過改變輸入變量，可以得出風險債券的利息率的變化情況，例如將債券的面值從１００萬元增加為２００萬元，在保持其他已知變量不變的基礎上，可以得到債券的貼現率從７．５５％增長到１３．３６％。如果將公司資產波動率從２５％提高到３５％，在其他已知條件不變的情況下，風險債券的利息率從７．５５％增長到９．４２％。

可以看出，當參數發生變化時，風險債券的貼現率會隨著參數變化的情況進行變化，但貼現率較大時，則反映出較高的違約率。

主要參考文獻

［１］劉志強，金朝蒿．認股權證的等價鞅測度定價模型與數值方法［Ｊ］．經濟數學，２００４，２１（２）： １３６－１４０．

［２］朱丹．附有回售條款的可轉換債券的鞅定價［Ｊ］．湖南師范大學自然科學學報，２００５，２８（４）： ２３－２６．

［３］鄒杰濤，于海濱，吳潤衡，韓立杰．或有要求權在公司負債定價中的應用［Ｊ］．數學的實踐與認識， ２００７，３７（１７）：３６－４１．

［４］Ｍｅｒｔｏｎ Ｒ． Ｏｎ ｔｈｅ Ｐｒｉｃｉｎｇ ｏｆ Ｃｏｒｐｏｒａｔｅ Ｄｅｂｔ： Ｔｈｅ Ｒｉｓｋ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｅｓｔ Ｒａｔｅｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ ． １９７４，２９（２）：４４９-４７０．

［５］Ｂｌａｃｋ Ｆ， Ｓｃｈｏｌｅｓ Ｍ．Ｔｈｅ Ｐｒｉｃｉｎｇ ｏｆ Ｏｐｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｃｏｒｐｏｒａｔｅ Ｌｉａｂｉｌｉｔｉｅｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｏｌｉｔｉｃａｌ Ｅｃｏｎｏｍｙ， １９７３，８１（３）：６３７－６５４．

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