用函數思想解決有關不等式的解的問題

不等式恒成立問題和存在性問題是關于不等式的解的兩種基本類型。從不等式知識本身看：

設f（x）>0的解集為A，則f（x）>0在區間I上恒成立 I A，f（x）>0在區間I上有解 I∩A≠。

但解含參不等式通常比較繁，所以往往要另辟蹊徑。而函數與不等式聯系緊密。如果用函數思想來處理上述問題，往往能達到曲徑通幽的效果，下面4個定理就是解決不等式恒成立問題和存在性問題的有力武器。

設函數f（x）在區間I上有最大值和最小值。

定理1：f（x）>m在區間I上恒成立 f（x）>m。

證：f（x）>m在區間I上恒成立 f（x）>m。

反之，f（x）>m f（x）≥f（x）>m f（x）>m在區間I上恒成立。

定理2：f（x）

定理3：f（x）>m在區間I上有解 f（x）>m。

證：f（x）>m在區間I上有解，即 x∈I，使f（x）>m。

故有f（x）≥f（x）>m。所以f（x）>m。反之，

f（x）>m f（x）>m在區間I上有解。

定理4：f（x）

說明：

1.設命題p： x∈I，f（x）>m恒成立，則p： x∈I，使f（x）≤m成立。

2.以上定理原不等式右邊必須是常數。

3.如果函數f（x）不存在最大值或最小值，但有正常上確界或下確界，原不等式可能帶“=” 號， 結論是否帶“=”號? 恒成立問題是三帶一不帶，一不帶指函數f（x）有最值且原不等式不帶“=”號；存在性問題是一帶三不帶， 一帶指函數f（x）有最值且原不等式帶“=”號。

下面略舉數例，加以體會。

例一.（2008年江蘇高考14題）設f（x）=ax-3x+1（x∈R）。

若對任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立。則實數a的值為_____。

分析：本題屬不等式恒成立問題，分離常數后，通過求函數的最值進行轉化。

解1.當x=0時，f（x）=1≥0恒成立，a∈R。

ax

a≥-。設g（x）=-。則g′（x）=

所以g（x）在-上單調遞增，在上單調遞減。

因此g（x）=g-=4，從而a≥4。

3.當x<0即x∈[-1，0)時，f（x）=ax-3x+1≥0可化為：

a≤-。g（x）在[-1，0)上單調遞增，因此g（x）=

g（-1）=4，從而，a≤4，以上三種情況應同時成立，所以a=4。

小結：將原不等式等價變形，使一邊只含常數，將不等式恒成立問題或存在性問題，轉化為求函數的最值或值域問題，這是求解不等式恒成立問題和存在性問題的常用方法。

（作者單位：江蘇省濱海縣明達中學）

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