淺談有關恒成立問題的題型及解決方法

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A文章編號：1008-925X(2011)07-0021-01

摘要：在近幾年的數學高考試題及高考模擬題中經常遇到恒成立問題。本文根據高考題及高考模擬題總結了幾種常見的解決含參數恒成立問題的方法。從類型上分為等式的恒成立問題及不等式的恒成立問題。

關鍵詞：等式 不等式 恒成立 轉化 化歸 分離參數 數形結合 在近些年的數學高考題及高考模擬題中經常遇到 “總成立”，“都成立”，“一定成立”等類似的字眼。有關恒成立的問題是中學數學的難點之一，也是高考中的熱點。本文就此類問題的幾種類型及解法加以論述：

一、等式的恒成立問題

（1）等式恒成立問題在解決時主要是通過展開整理等式利用等號兩邊的多項式對應系數相等達到解決問題的目的

（2）根據函數的奇偶性、周期性等性質來解決問題。

若函數f(x)是奇(偶)函數，則對一切定義域中的x，f(-x)=-f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函數y=f(x)的周期為T，則對一切定義域中的x，f(x)=f(x+T)恒成立。

二、不等式的恒成立問題

㈠轉換主元法

確定題目中的主元，化歸成初等函數求解。此方法通常化為一次函數，利用一次函數的性質去解決。

給定一次函數y=f(x)=ax+b(a≠0)，若y=f(x)在x∈[m，n]內恒有f(x)>0，則根據函數的圖象（直線）可得上述結論等價于ⅰ）

或ⅱ）

亦可合并定成

同理，若在x∈[m，n]內恒有f(x)<0，則有

㈡、化任何一個一元二次不等式總可以化成ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a>0)的形式，由二次函數y=ax2+bx+c(a＞0)的圖像和性質，我們不難得出以下兩個結論：

①ax2+bx+c＞0(a＞0)在R上恒成立的充要條件是△＜0

②ax2+bx+c＞0(a＞0)在區間上恒成立的充要條件是：

③f（x）＜0（a＞0）在x∈上恒成立等價于

例1、若不等式x2-2mx+2m+1>0對滿足0≤x≤1的所有實數x都成立，求m的取值范圍。

解：設f(x)=x2-2mx+2m+1

本題等價于函數f(x)在0≤x≤1上的最小值大于0，求m的取值范圍。

(1)當m<0時，f(x)在[0，1]上是增函數，因此f(0)是最小值，

解得

(2)當0≤m≤1時，f(x)在x=m時取得最小值

解 得0≤m≤1

(3)當m>1時，f(x)在[0，1] 上是減函數，因此f(1)是最小值

解得 m>1

綜合(1)(2)(3) 得

注：1)本題可以轉化為關于m的一次函數形式，利用轉換主元法來解。

2)當化歸為二次函數后，自變量是實數集的子集時，應用二次函數知識解決有時較繁瑣。此型題目有時也可轉化為后面講的變量分離法求解。

3）二次函數在指定區間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數的分布知識求解。

㈢、變量分離

若關于x的不等式f(x，λ)≥0（或f(x，λ)≤0）在區間D上恒成立，求實參數λ的范圍。

如果能將不等式f(x，λ)≥0（或f(x，λ)≤0）化為F（λ）≥G（x）（或F（λ）≤G（x））的形式，且可求出G（x）在區間D上的最大（最小）值，那么不等式f(x，λ)≥0（或f(x，λ)≤0）在區間D上恒成立的充要條件是：

F(λ)≥max｛G（x）｝（或F(λ)≤min｛G（x）｝）

㈣、數形結合

若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

以上幾種方法是確定恒成立問題中參數的取值范圍的基本方法，此外，還有其它一些方法：如討論法、參數法、判別式法、待定系數法等等。在解綜合性較強的恒成立問題時，要以題為本，抓住恒成立的實質，具體問題具體分析，不要拘泥于一種方法。

參考文獻:

[1]高考資源網．《不等式的恒成立問題》．

[2]《五年高考三年模擬》．首都教育出版社．

[3]全國各地市高考題及模擬題．