聚焦“一次函數的解析式”

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1008-925X(2011)07-0013-02

知識準備

一、解析式：一次函數的解析式為y=kx+b（k，b都是常數且k≠0）。當b=0時，y=kx(k≠0)叫做正比例函數。

二、圖象：一次函數和正比例函數的圖象是一條直線。

三、性質

1、當k>0時，y隨x的增大而增大；

當k<0時，y隨x的增大而減小；

2、當b>0時，直線與y軸的正半軸相交；

當b<0時，直線與y軸的負半軸相交；

當b＝0時，直線經過原點

3、當k>0，b>0時，直線經過第一、二、三象限；

當k>0，b<0時，直線經過第一、三、四象限；

當k<0，b>0時，直線經過第一、二、四象限；

當k<0，b<0時，直線經過第二、三、四象限。

4、畫一次函數的圖象只需取直線上兩個不同點即可。一般取直線y=kx+b與坐標軸的交點（- ，0）和（0，b）

5、兩直線y1=k1x+b1與y2=k2x+b2

當k1=k2 b1≠b2時，兩直線平行；

當k1≠k2 b1=b2時，兩直線交于y軸同一點（0，b）

四、一次函數的表示法有：解析法、列表法、圖象法。

方法解析

一、一次函數的判定方法

1、定義法：一次函數需同時滿足以下三個條件：

①函數的解析式是關于自變量（如x）的整式；

②函數自變量x的最高次數是1；

③函數自變量x的系數不等于0.

2、數形結合法：一次函數的圖象是一條直線（或直線上的一部分）。

二、求一次函數的解析式。

1、用待定系數法求一次函數的解析式。

①待定系數法：先設出函數的解析式，再根據已知條件確定解析式中未知的系數，從而求出函數解析式的方法，叫做待定系數法。

②一般步驟：

I：設函數關系式為y=kx+b（k≠0）

II：由已知條件得出關于k、b的方程（組）；

III：解方程（組）求出k、b的值；

IV：寫出所求的函數關系式。

③例題詳解

例1：(2007年·樂山)直線l1經過點A（-3，1），B（0，-2），將該直線向右平移2個單位得到直線l2，求直線l2的解析式。

解題導引：根據兩點確定一條直線，故只需找出l2上的兩點即可。

解：A（-3，1），B（0，-2）向右平移兩個單位后的點坐標為（-1，1）和（2，-2），即直線l2經過（-1，1）和（2，-2）。

設直線l2的解析式為y=kx+b(k≠0)

由已知得解方程組得

∴直線l2的解析式為y=-x。

2、用數形結合法求一次函數的解析式。

①解題思路：從題目中讀懂信息，找到兩組對應值，從而得到相應的函數解析式。利用數形結合的方法解決有關函數問題，使抽象的數形象化、直觀化，化數為形，以形思數。

②例題詳解

例2：某商店試銷售一種成本單價為100元/件的商品，規定試銷時售價不低于成本價，又不高于180元/件，經市場調查發現，銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關系滿足一次函數y=kx+b（k≠0）其圖象如右圖所示。

（1）根據圖象求一次函數的解析式；

（2）若銷售量y不低于80件，求銷售價

x的范圍。

解題導引：由函數圖象可知直線y=kx+b

經過點（120，120），（140，100），從而可求其解

析式。

解：（1）由圖象可得：

解這個方程組得

∴所求的一次函數的解析式為：y=-x+240（100≤x≤180）

（2）由題意得：

即

∴100≤x≤160

3、運用一次函數的性質求解析式

例3：已知一次函數y=kx+b（k，b為常數且k≠0）中自變量的取值范圍是-2≤x≤6，相應的函數值的取值范圍是-10≤y≤6，求此函數的解析式。

解題導引：欲求函數的解析式，只需求出函數的兩組對應值。但本題中沒有指出函數值隨自變量的變化情況，故應分兩種情況：

①y隨x的增大而增大和②y隨x的增大而減小考慮。

解：（1）當y隨x的增大而增大時

則由已知得x=-2時，y=-10，x=6時，y=6

∴解這個方程組得

∴所求的函數解析式為y=2x-6

（2）當y隨x的增大而減小時，

則由已知得，x=-2時y＝6，x=6時，y＝-10

∴解這個方程組得

∴所求的函數解析式為y=-2x+2

由（1）（2）得所求函數的解析式為y=2x-6或y=-2x+2

4、由函數與坐標軸圍成的三角形面積求解析式。

例4：若直線y=2x+b與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，求此一次函數的解析式。

解題導引：此題得解的關鍵是求b，于是需由已知條件建立一個關于b的方程。

解：在y=2x+b中

當x=0時y=b，當y=0時，x=-

∴直線y=2x+b與x，y軸的交點分別是

(- ，0) 和（0，b）

由已知條件得： ｜b|·|- |=4

∴所求的一次函數的解析式為y=2x+4或y=2x-4。

5、由對稱性求一次函數的解析式。

例5：已知直線l1：y=x-2與直線l2關于x軸對稱，求直線l2的解析式。

解題導引：求直線l2的解析式，關鍵要找出l2上兩個點，因為l2與l1關于x軸對稱，則l1上的每個點關于x軸的對稱點都在l2上，故只需在l1上任取兩點，再求出它關于x軸的對稱點即可。

解：在y=x-2中

當x=0時，y=-2，當y=0時，x＝2

∴（0，-2）和（2，0）關于x軸的對稱點分別是（0，2）和（2，0）

設l2的解析式為y=kx+b

則解方程組得

∴直線l2的解析式為y=-x+2.