高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性梳理舉隅

中圖分類(lèi)號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-925X(2011)11-0103-01

函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，利用對(duì)稱性能更簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題。函數(shù)的對(duì)稱包括函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性。下面具體分析各個(gè)方面：

一、函數(shù)自身的對(duì)稱

定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a ，b)對(duì)稱的充要條件是：f (x) + f (2a－x) = 2b

推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱的充要條件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱的充要條件是

f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)

推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱（實(shí)際是偶函數(shù)）的充要條件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A (a ，c)和點(diǎn)B (b ，c)成中心對(duì)稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個(gè)周期。

②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個(gè)周期。

③若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A (a ，c) 成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x =b成軸對(duì)稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個(gè)周期。

二、不同函數(shù)對(duì)稱性

定理4. 函數(shù)y = f (x)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a ，b)成中心對(duì)稱。

定理5. ①函數(shù)y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對(duì)稱。

②函數(shù)y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對(duì)稱。

③函數(shù)y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對(duì)稱。

推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱（實(shí)際是函數(shù)與反函數(shù)的問(wèn)題）。

三、函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例

例1 定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f(x+10)為偶函數(shù)，且f(5-x)=f(5+x)，則f(x)一定是（ ）

A. 是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) B. 是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C. 是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) D. 是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)例

解：因?yàn)閒(x+10)為偶函數(shù)，所以f(10+x)=f(10-x)。所以f(x)有兩條對(duì)稱軸x=5與x=10，因此f(x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，所以x＝0即y軸也是f(x)的對(duì)稱軸，因此f(x)還是一個(gè)偶函數(shù)。故選（A）。

2：設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對(duì)稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。