因式分解在初中數學中的重要作用

初中數學中，因式分解是最常用最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中。例如，在八年級的《分式》教學中，處處讓學生感受到因式分解的存在，不論是在約分、通分以及分式的各種運算中，都需要進行因式分解才能解答。學生如果不能正確地進行多項式的因式分解，那將在分式學習中舉步維艱，無從下手。所以因式分解是我們解決許多數學問題的有力工具，而因式分解的方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用，也是發(fā)展學生智能、培養(yǎng)能力、深化學生逆向思維的良好載體。

一、因式分解在初中階段最常用的方法有提取公因式法，運用公式法，分組分解法和十字相乘法等

1．提公因式法

如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。

am+bm+cm=m(a+b+c) 。

例如：-2x3-2x2 +8x=-2x(x2+x-4)

2．運用公式法

（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)

（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

（3）立方和公式：a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)

立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)

例如： 3x6-3x2=3x2(x4 -1) = 3x2(x2 +1) (x2 -1)

=3x2(x2 +1) (x +1) (x -1)

3．分組分解法

分組分解法：把一個多項式分組后再進行分解因式的方法。

分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提公因式或運用公式。

例如： m2+5n-mn-5m = m2-5m-mn+5n

= (m2-5m )+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4．十字相乘法

二次三項式x2+(p+q)x+pq型的特點是：二次項的系數是1，常數項是兩個數的積，一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解: x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 。

例：x2-5x+4=(x-1)(x-4)

二、在中學數學中，學習因式分解對于我們解題技能的培養(yǎng)有著獨特的作用和價值。

1．運用因式分解可以求一些無法直接求解的代數式的值，即整體代入法

例：已知：a+b=1， 求a3+3ab+b3的值。

分析：在解題過程中，認真觀察題目特點，先分組，再考慮運用公式法分解因式變形成含有a+b的式子，然后直接代入求值。既運用了知識，又簡便了運算。

解： a3+3ab+b3 = (a3+b3)+3ab

=(a+b)(a2-ab+b2)+3ab = a2-ab+b2+3ab

=a2+2ab+b2 = (a+b)2

=12 = 1

2．利用因式分解可判斷多項式或數的整除性

例：判斷993-99能被100整除嗎？

解：993-99=99（992-1）=99（99+1）（99-1）

=99×100×98

通過利用因式分解變形含有因式100，所以993-99能被100整除。

3．利用因式分解與幾何中三角形的三邊關系的結合解決一些綜合題

例：已知a，b，c為三角形ABC的三邊，利用因式分解證明b2-a2+2ac-c2>0

證明：b2-a2+2ac-c2=b2-(a2-2ac+c2)=b2-(a2-c2)=(b+a-c)(b-a+c)

因為a+b>c b+c>a

所以b+a-c>0 b-a+c>0

所以 b2-a2+2ac-c2>0

4.因式分解對分式的運算起著非常重要的作用。

（1）分式的乘除法要進行約分，而分式約分首先要將分子，分母分解因式才能進行。

（2）分式的加減法中的將異分母化為同分母需要通分，而找最簡公分母時多項式也需要將各分母分解因式。

總之，在探究因式分解的方法活動中，教師要通過對整式乘法與因式分解之間的互逆關系的探究過程，培養(yǎng)學生有條理的思考，表達與交流的能力，引導學生在活動中運用類比的思想進行思考，并自覺地用語言說明變形過程，有意識地培養(yǎng)學生逆向思考問題的習慣。

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