結(jié)構(gòu)非線性有限元分析現(xiàn)狀綜述

摘 要:簡(jiǎn)要介紹非線性有限元概念及基本算法，淺談結(jié)構(gòu)非線性有限元分析之現(xiàn)狀，例舉數(shù)值算法和網(wǎng)格劃分技術(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)非線性有限元分析的精度和效率的影響。

關(guān)鍵詞:有限元分析網(wǎng)格ANSYS

中圖分類號(hào):O342文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098x(2011)08(b)-0248-01

有限元方法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)、且按一定方式相互連接在一起的單元的組合體，利用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片地表示全求解區(qū)域待求的未知場(chǎng)函數(shù)，從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。隨著單元數(shù)目的增加，即單元尺寸的縮小，解的近似程度不斷改進(jìn)，最后將收斂于精確解。

按所取基本未知量的不同有限元方法分為位移控制法和荷載控制法。位移控制法選取節(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，荷載控制法選取節(jié)點(diǎn)力為基本未知量。位移控制法因?yàn)槿菀讓?shí)現(xiàn)電算求解而應(yīng)用廣泛。國(guó)際上通用的有限元軟件有ABAQUS、ADINA、ANSYS、MARC、NASTRAN、SAP等。其中ANSYS歷經(jīng)30多年的發(fā)展，已經(jīng)能夠緊跟計(jì)算機(jī)硬件、軟件發(fā)展的最新水平，而成為計(jì)算機(jī)輔助工程(CAE)和工程數(shù)值分析和模擬最有效的軟件。

結(jié)構(gòu)非線性全過(guò)程分析中的迭代控制算法早被提出[1-3]。牛頓－拉普森平衡迭代(NR法)迫使在每一個(gè)載荷增量的末端解達(dá)到平衡收斂。在每次求解前牛頓－拉普森方法估算出殘差矢量，這個(gè)矢量就是回復(fù)力(對(duì)應(yīng)于單元應(yīng)力的載荷)和所加載荷的差值，然后使用非平衡荷載進(jìn)行線性求解，且核查收斂性。如果不滿足收斂準(zhǔn)則，重新估算非平衡載荷，修改剛度矩陣，獲得新解。持續(xù)這種迭代過(guò)程直到問(wèn)題收斂。如果僅僅使用牛頓－拉普森法，正切剛度矩陣可能變?yōu)槠娈惥仃嚕瑢?dǎo)致嚴(yán)重的收斂問(wèn)題。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外對(duì)非線性結(jié)構(gòu)問(wèn)題的數(shù)值解法做了大量的研究。修正的牛頓－拉普森迭代法的出現(xiàn)，為保證計(jì)算精度提供了保障。但是，對(duì)求解結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度而言，這種方法仍很難找到極限點(diǎn)。

WrightGaylord發(fā)展了假想彈簧法以保證后極限強(qiáng)度區(qū)域結(jié)構(gòu)剛度矩陣的正定，并成功應(yīng)用于框架結(jié)構(gòu)的分析。Bergan等提出了當(dāng)前剛度參數(shù)法，來(lái)抑制臨界區(qū)域的平衡迭代進(jìn)而穿越極限點(diǎn)。Batoz提出了位移控制法，通過(guò)施加已知位移變化過(guò)程反求結(jié)構(gòu)內(nèi)力，從而穿越極限點(diǎn)求出結(jié)構(gòu)的后極限強(qiáng)度響應(yīng)。Riks首次提出弧長(zhǎng)控制法，1981年由Crisfield、Ramm、Powell和Simons等人做了改進(jìn)，并與修正的牛頓－拉普森法相結(jié)合，成功地實(shí)現(xiàn)了求解后極限平衡路徑中的“階躍” (Snap-through)問(wèn)題。

高素荷等人對(duì)網(wǎng)格劃分密度與有限元求解精度的關(guān)系進(jìn)行了研究[4]。通過(guò)對(duì)不同網(wǎng)格密度、不同單元類型的有限元力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果與精確解的分析比較，探索研究單元網(wǎng)格劃分與有限元求解精度的內(nèi)在聯(lián)系，為在保證有限元解滿足工程實(shí)際精度要求的前提下，確定合理的網(wǎng)格密度，提高有限元分析效率進(jìn)行了有益的探索。研究證明:對(duì)于幾何尖角處、應(yīng)力應(yīng)變變化較大區(qū)域，有限元分析時(shí)應(yīng)選擇高階次單元，并適當(dāng)增加單元網(wǎng)格密度。這樣，既可保證單元的形狀，同時(shí)，又可提高求解精度、準(zhǔn)確性及加快收斂速度。全自動(dòng)劃分網(wǎng)格時(shí)，優(yōu)先考慮選用高階單元。在網(wǎng)格劃分和初步求解時(shí)，應(yīng)做到先簡(jiǎn)后繁，先粗后精。由于工程結(jié)構(gòu)一般具有重復(fù)對(duì)稱或軸對(duì)稱、鏡象對(duì)稱等特點(diǎn)，為提高求解效率，應(yīng)充分利用重復(fù)與對(duì)稱等特征，采用子結(jié)構(gòu)或?qū)ΨQ模型以提高求解效率和精度。

邢靜忠、李軍等人對(duì)通過(guò)對(duì)ANSYS的建模方法和網(wǎng)格劃分進(jìn)行的研究[5]，給出了網(wǎng)格劃分的一些技巧。(1)在網(wǎng)格劃分時(shí)，首先考慮的是模型的網(wǎng)格數(shù)量。(2)考慮分析數(shù)據(jù)類型選擇合適的網(wǎng)格數(shù)量。(3)用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性來(lái)減少模型的網(wǎng)格數(shù)量。(4)保證分析精度的前提下略去結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)。(5)應(yīng)力梯度較大時(shí)采取疏密不同的網(wǎng)格。

王明強(qiáng)、朱永梅、劉文欣從幾何模型建立方法的角度對(duì)幾種不同網(wǎng)格劃分方法進(jìn)行了深入討論[6]，最后在ANSYS中對(duì)這些網(wǎng)格劃分方法進(jìn)行了實(shí)例比較，給出了不同網(wǎng)格劃分方法的適用范圍及其應(yīng)用特點(diǎn)。對(duì)于不同類型、不同要求的復(fù)雜幾何模型，要想得到合適的劃分網(wǎng)格，必須綜合考慮單元類型、建模方法、力學(xué)模型、承載、耗費(fèi)機(jī)時(shí)、最后結(jié)果要求等多種因素。

程耀東、牛加毅、齊津等人研究了結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析中有限元網(wǎng)格細(xì)分方法[7]。研究利用分級(jí)有限元的特性，導(dǎo)出了一種有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析的誤差指示因子。在此基礎(chǔ)上，提出了一種h－y模式的動(dòng)態(tài)分析網(wǎng)格細(xì)分方法。它能減少有限元?jiǎng)討B(tài)建模中網(wǎng)格劃分的盲目性和隨意性;從而在節(jié)省計(jì)算工作量的同時(shí)，提高了固有頻率的計(jì)算精度。

綜上所述國(guó)內(nèi)外的研究成果均表明數(shù)值算法和網(wǎng)格劃分技術(shù)對(duì)數(shù)值分析的精度和效率有一定的影響。但是結(jié)構(gòu)非線性有限元分析計(jì)算精度和效率問(wèn)題，還有待于具體分析，實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)依據(jù)高精度、高效率的數(shù)值計(jì)算確定性能指標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1]Simo JC， Taylor RL. A return mapping algorithm for plane stress elastoplasticity. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1986， 22: 649-670

[2]Riks E. An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems. International Journalof Solids and Structures. 1979; 15:529–551.

[3]I M May，Y Duan.Local arc-Length procedure for strain softening．Computers and Structures．VoI 64，No 1，1997 297—303.

[4]高素荷.網(wǎng)格劃分密度與有限元求解精度研究[J].重工科技，2006，(1):12-15.

[5]邢靜忠，李軍.ANSYS的建模方法和網(wǎng)格劃分[J].中國(guó)水運(yùn)(學(xué)術(shù)版)，2006，6(9):116-118.

[6]王明強(qiáng)，朱永梅，劉文欣.有限元網(wǎng)格劃分方法應(yīng)用研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2004.

[7]程耀東，牛加毅，齊津.一種結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析有限元網(wǎng)格細(xì)分方法。浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1992.