數學歸納法在中學數學中的應用

摘要：文章詳盡闡述了數學歸納法在高中數學中的一些相關應用，通過對它基本形式的學習和理解，對數學歸納法在解決和正整數相關的類型題中的作用做出肯定。對與正整數有關的恒等式、不等式、整除性問題和幾何問題等，用相應的實例進行解析說明在各類型中數學歸納法的具體應用。在很多時候學生的錯誤就是在于不能真正理解數學歸納法和存在的一些數學歸納法應用的思維定勢。我們應該去除學生在學習歸納法時的這些弊端，充分了解它的好處和局限，更好的去應用它來幫助我們解決相應的問題。

關鍵詞：歸納法；應用數學；教學

中圖分類號：FG633.6 文獻標志碼：Ａ 文章編號：１６７３－２９１Ｘ（２０11）14－０304－02

數學歸納法是高中數學中一種常用的論證方法，它雖然有一定的局限性，只適用和正整數有關的命題，但它在中學數學中的作用是不可或缺的。因此，它不僅是高考數學的一個考點，也是一個難點。在看似簡單易懂，形式固定的外表下，它卻使得很多學生不能真正掌握，難以理解其實質。有些同學僅僅只是生硬的記憶和牽強的套用，沒有真正體會到數學歸納法的核心思想。我們應該怎樣理解數學歸納法，在高中數學中又有哪些方面的應用？在哪些類型題上使用可以更加方便？數學歸納法又有哪些局限性？我們應該怎樣具體問題具體分析，更好的學習和利用數學歸納法呢？

在本文中通過對數學歸納法基本形式理解的基礎上，進一步論述了在解決很多和自然數函數有關的整式、不等式、整除和幾何等問題時數學歸納法的應用。當然數學歸納法，在很多時候也會使解題變的復雜繁瑣，因此我們要理解其實質，真正掌握正確運用數學歸納法的能力。

數學歸納法的基本形式：

（1）驗證當n取第一個值時，命題正確：

（2）假設n＝k時命題正確，證明n＝k+1時命題也正確：

（3）根據（1） （2）斷定命題對于全體自然數都正確。

例1： 證明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）

證明：（1）當n＝1時，左邊＝1＝右邊，等式顯然成立。

（2）假設n＝k時等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2

那么，當n＝k+1時，有

（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]

＝（2k-1）2+8k＝（2k+1）2＝[2（k+1）-1]2

即當n＝k+1時，等式也成立。故對于任意正整數n等式都成立。

通過數學歸納法基本形式和例題可以看出其原理就是遞推思想，其中（1）是遞推的基礎，沒有它歸納假設就失去了依據，后面遞推就沒有了奠基。（2）是遞推的依據是數學歸納法證明最根本的一步，是整個數學歸納法證明的核心，只有通過它無限次遞推成為可能，人們的認識才達到了質的飛越——通過有限認識無限，所以數學歸納法的兩個步驟缺一不可。

數學歸納證題的兩個步驟雖然都很重要，但在證題時第一步較易，第二步較難。學生往往感到很困難，絞盡腦汁都難以完成這一步，到底我們應該怎樣轉化，不同的問題我們又應該怎樣去解決？下面我們來探討一下數學歸納法在中學數學中的應用。

一、應用數學歸納法證明恒等式

應用數學歸納法證明的恒等式，包括與正整數有關的代數恒等式、三角恒等式、組合數公式及其恒等式等，證明過程中只要實現等式左右兩邊相等即可。

例1：用數學歸納法證明： n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）＝（2n-1）2（n∈N*）

證明：（1）當n＝1時，左邊＝1＝（2×1-1）2＝右邊，等式成立。

（2）假設n＝k時，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）＝（2k-1）2

那么，當n＝k+1時有

（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）

＝[k+（k+1）+（k+2）+…+（3k+2）]+8k

＝（2k-1）2+8k

＝4k2+4k+1

＝（2k+1）2

＝[2（k+1）-1]2

即當n＝k+1時，等式也成立，故對于任意正整數n，等式都成立。

二、應用數學歸納法證明不等式

應用數學歸納法證明不等式，分為嚴格不等式和非嚴格不等式兩種，嚴格不等式的證明，只要保證原不等式中的“＞”或“＜”成立即可。對于非嚴格不等式而言，情況略顯復雜。

例2：已知x1，x2，x3，…，xn都是正數，試證：

+++…≥x1，x2，x3…，xn

證明：（1）當n＝1時，因為＝x1，所以原不等式成立（取等號）

（2）假設當n＝k時原不等式成立，即

+++…≥x1，x2，x3…，xk

那么，當n＝k+1時，不等式的左邊

+++…+＝（+++…）-++≥x1+x2+x3+…+xk++（*）

顯然，只要證明

+≥xk-1

原不等式即可得證。但此式難以直接證明，經仔細觀察發現，原不等式關于變量x1，x2，x3…，xn是輪換對稱的，于是不妨設xk-1＝max｛x1，x2，x3，…，xk，xk-1｝，則xk-12-xk2＞0。

+≥+＝＝xk-1

故當n＝k+1時，不等式也成立。即原不等式對于所有自然數都成立。

三、應用數學歸納法證明整除問題

應用數學歸納法證明整除性問題，是數學歸納法的重要應用之一。這類問題涉及到整除性的知識，如果a能被c整除，那么a的倍數ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它們的和或差a±b也能被c整除，從整數的基本入手，通過添項去項進行”配湊“，使之能夠獲證。

例3：證明f（n）＝5n+2#8226;3n+1能被8整除。

證明：（1）當n＝1時，f（n）＝5n+2#8226;3n+1＝8顯然能被8整除，命題成立。

（2）假設當n＝k時，原命題成立，即f（k）＝5k-1+2#8226;3k+1能被8整除，那么，當n＝k+1時，f（k+1）＝5k-1+2#8226;3k+1

＝5#8226;5k+6#8226;3k+1+4#8226;3k-1-4#8226;3k-1

＝5#8226;5k+10#8226;3k-1+5-4#8226;3k-1-4

＝5#8226;f（k）-4（3k-1+1）

這里第一項由歸納假設能被8整除，第二項中3k-1是奇數，則3k-1+1是偶數。故第二4（3k-1+1）能被8整除，由整除性質可知，它們的差也能被8整除，這就是說：當n＝k+1時命題也成立。即原命題對所有自然數n都成立。

四、應用數學歸納法證明幾何問題

應用數學歸納法證明幾何問題是數學歸納法的一個重要應用。數學歸納法是證明與正整數有關的命題的重要方法，但是運用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發現命題。有很多與正整數有關的幾何問題，可以用數學歸納法證明，但在證明之前要找出規律，獲得公式，而后才能應用數學歸納法證明結論。

例4：證明凸n邊形的對角線的條數f（n）＝n（n-3）.（n≥3）

證明：（1）當n＝3時，f（3）＝0，因三角形沒有對角線，所以原命題成立。

（2）假設：當n＝k（n≥3）時命題成立，即凸k邊形的對角線條數為f（k）＝k（k-3）。那么當n＝k+1，凸k邊形的k個頂點增加一個頂點Ak-1成為凸k+1邊形時，由頂點Ak-1與它不相鄰的另外k－2個頂點A2，A3，A4，…，Ak－1可畫出k－2條對角線，同時原來凸k邊形的一條邊A1Ak變成一條對角線。這樣從凸k邊形到凸k+1邊形一共增加了k-1條對角線。由此凸 邊形的對角線條數為：

f（k+1）＝f（k）+（k+1）

＝k（k-3）+（k-1）

＝（k2-k-2）

＝（k+1）（k-2）

＝（k+1）[（k+1）-3]

這就是說，當n＝k+1時，命題也成立。

需要指出，雖然數學歸納法是一種論證與自然數有關的命題的重要方法，但并非結論是自然數的函數的命題都適合用數學歸納法證明。有些題目應用數學歸納法進行證明，過程相當繁瑣，尤其是由n＝k到n＝k+1的變化過程很多，不易操作。事實上，很多與正整數有關的命題，若能避開數學歸納法的思維定勢，利用其命題本身的特點，采用非數學歸納法的證明，則能避繁就簡。

例5：n∈N*，求證1+++…+＜2。

證：令bn＝2，則bn＝b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）

當n≥2時，bn-bn-1＝2（-）＝＞＝，從而1+++…+＜b1+（b2-b1）+…+（bn-bn-1）＝bn＝2

即1+++…+＜2。

通過以上例題，只是想說明對于有關自然數的命題的證明，不一定都采用數學歸納法這一種方法而應該針對題目本身的特點，選擇適當的方法達到簡化證明過程的目的。從另一個角度來講也能克服學習中的思維定勢，使知識融會貫通，靈活運用。

以上我們對數學歸納法的基本形式，及在中學數學中和自然數函數有關的整式、不等式、整除問題和幾何問題等，一些常見題型中的應用做了簡單的舉例，并通過相應的例題對這幾種方法進行了解析，使學生對數學歸納法有了更進一步的了解。縱觀科學技術迅猛發展的當今時代，我們對數學歸納法的研究已經取得了很大的進步，對于它的更加優越的性質和更廣泛的應用仍需要我們繼續努力鉆研。深入探討數學歸納法的相關性質，究竟何時使用歸納法何時不使用，中學數學歸納法還有哪些應用，還有待同學仔細研究和探索。

參考文獻：

[1] 劉世澤.數學歸納法的另外兩種形式[J].數學通報，1994，（1）.

[2] 楊玉聲.歸納法與數學歸納法及其應用[J].中學理科，1999，（Z2）.

[3] 朱華偉，史亮.高中數學新課程標準中的歸納法[J].數學通訊，2005，（13）.