常用多小波及預處理方法

摘 要:多小波以其能同時滿足正交性、對稱性等單小波所不能滿足的優良特性在圖像壓縮、去噪等方面發揮著越來越重要的作用，而預處理方法是所有的多小波系統必須解決的一個首要問題，本文首先介紹了常用的多小波及其對應的濾波器系數，然后針對多小波處理中必須解決的的預處理方法進行了介紹和總結。

關鍵詞:多小波 預處理

中圖分類號:P228.4文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(c)-0088-02

小波變換是一種信號分析理論，可達到時/空域、頻域局部化的時頻/空頻分析方法.多小波(Multiwavelet)是小波理論的新發展，是由兩個或以上的尺度函數生成的小波，為了區別，我們將傳統意義的小波稱作純量小波(scalar wavelet)或單小波(unit-wavelet)。

1 基礎概念

通常，多尺度函數形式為，多小波:。與單小波類似，多小波的和也必須滿足兩尺度方程:

其中，分別為低通、高通濾波器序列(實系數矩陣)。

若滿足:，則稱為正交多尺度函數。

同時，若，，那么就可以構成的一組正交基，則稱其為正交的多小波。

2 常用多小波

2.1 ＧＨＭ多小波

在實際應用中，在選擇重數時通常選擇ｒ＝２，而相應的濾波矩陣Ｈ，Ｇ也有多種，比較常用的是由Geronimo等人在1994年利用分形插值方法構造的ＧＨＭ多小波。它具有很多優良性質:多尺度函數和多小波函數的支撐區間分別為:[0，1]和[0，2];多尺度函數是對稱的，多小波是構成對稱/反對陳對，且都是正交的;具有二階逼近階;它的濾波器系數如下:

2.2 CL多小波

CL多小波是1996年由Chui和Lian構造出來的。他們強化了雙尺度系數具有中心對稱、正交性以及逼近階固定等約束條件，通常，CL多小波的多尺度函數有兩種:[0，2]和[0，3](即在每種情況下，它的兩個尺度函數以及兩個小波函數的支撐都為該區間)。下面是位于[0，3]區間上的一種多小波CL4多小波(濾波器長度為4)的濾波器系數:

2.3 Opt-rec 多小波

Opt-rec是王玲[具有無邊界失真的多小波]在2001提出來的一種利用正交對稱性和逼近性構造的支集在[0，1]的多小波。它最大的特點是無邊界失真，具有精確重構性，切消失矩為2(即具有2階逼近性)。其濾波器系數如下:

改進后的Opt-rec多小波(BOR)[1]可以避免預濾波，有更好的低通和高通特性。

2.4 CARDBAL平衡多小波系列

多小波在圖像處理時所用的低(高)濾波器都是矩陣形式，不能直接與輸入數據進行卷積，故而必須先將輸入信號矢量化，也就是預處理，然而這樣會破壞整個多小波系統的性質，于是就有了平衡多小波的出現。常用的平衡多小波有CARDBAL2，CARDBAL3和CARDBAL4。下面是CARDBAL2[2]的濾波器系數:

2.5 Armlet系列正交多小波

Lian在2005年提出了Armlet性質，弱化了平衡性條件，進而使得多小波更容易被構造，下面是Armlet-3多小波(支撐為[0，3]，armlet階為3)的濾波器系數表1[3]:

3 幾種預濾波方法

由于多小波濾波器為矩陣形式，也就是一個多輸入多輸出(MIMO)系統，所以對于輸入數據來說必須先要進行矢量化，也就是預處理。而預處理濾波器設計的好壞將會直接影響整個系統的性能，若選擇不當，多小波的很多性質將會受到破壞(若預濾波器是非正交的，則會破壞多小波變換系統的正交性;若不對稱則會丟失對稱性)。通常，預濾波和平衡化處理是最常用的兩種方法。

3.1 預濾波

3.1.1 重復行采樣

這種方法是由Strela提出來的，本方法的思想如下:通過對原始信號進行復制來得到第二行數據，這樣同時進入塔式分解的數據將會是完全一樣的，故而本方法的最大的缺點就是造成了數據的冗余，這對數據壓縮是非常不利的，但是在去噪和圖像特征提取方面有不錯的效果。

3.1.2 逼近法

逼近法，又可以稱作臨界采樣[4]，思想如下:

將原始信號分裂為

通過預濾波器后可以得到下列形式:，其中Pn為預濾波系數。GHM常用的預濾波器和后濾波系數分別為:

。

通過該方法得到的預濾波器具有線性相位，但是想得到高的編碼增益卻很難。

3.1.3 Xia預處理法

1996年，Xia提出的預處理方法成為GHM多小波的最經典的預處理方法;其主要思想為將預濾波器和多小波的第一級分解結合起來，把對預濾波的設計轉化為低/高通濾波器的設計[5];根據GHM多小波函數的特點:Φ1支撐為[0，1]，Φ2支撐為[0，2]，且(即兩個尺度函數在非1的整數點上取值為0)，對于V0(由多尺度函數張成的空間)中的信號f(x)，可以寫成如下形式:，對其在整數點和半整數點上進行抽樣可以分別得到f(k+1)和f(k+1/2)，并將抽樣結果看作是離散信號，故而跟離散單小波函數中的mallat分解算法類似可得:

通過這種方法來設計預處理器并不能對所有的多小波都可行，而且得到的Q(w)通常情況下不具備正交性和線性相位。

3.1.4 對于Xia方法的改進

Xia的方法主要是針對一維信號來提出的，當應用到二維的圖像時，則必須一次只能處理一行或者一列，這樣就只利用了一個方向的相關性(圖像在行/列/對角線方向都有相關性)。有人就提出來:可以對像素和它在行和列兩個方向上的某些相鄰像素進行結合組成新元素來進行預處理，公式如下:

3.1.5 自適應法

這種方法是由Miller在1998年提出來的[6]，這種方法是基于金字塔算法的，并且以能量最小化為前提，通過選取不同分辨率下的小波分量來進行設計，通常情況下，這種方法的計算量較大(因為有個很大的塊矩陣)。

3.2 平衡多小波法

正如前面所說多小波預處理器的好壞對系統的性能有很大的影響，選擇的不當則會破壞多小波所固有的性質，于是Lebrun在1998年提出了一種新的思想來解決預處理問題，這就是平衡多小波。

所謂一階平衡是:設多小波低通濾波器對應的Toeplitz矩陣為L，高通濾波器賭贏的為H，當滿足時，則稱其為一階平衡[7]。

構造平衡多小波的方法一般有兩種:一是根據條件直接構造;另外是對已有多小波進行平衡化處理。由于直接構造很復雜，所以現在很多人都通過平衡化方法來轉化為平衡多小波，這樣原有的低/高通濾波器就會依然保持原有的正交性、對稱性等性質，同時還可以滿足多通道特性。目前的多小波中，除了GHM由于兩個尺度函數的支撐不同不適合平衡化之外，其他的都可以使用平衡化方法來轉換為平衡多小波。

一般方法是利用酉矩陣U使得下列式子滿足:

，

即使得[1，1]T是H(0)特征值1的左特征向量。

4 結論

同時滿足正交性、對稱性、有限支撐等性質，這是單小波所不可企及的，也是多小波優于單小波的地方，但是想要使得多小波在實際應用中(如圖像壓縮、去噪)得到更廣闊的應用所必須解決的問題就是預處理。不同的應用場合下處理不同問題時適用的多小波基和預處理方法當然也是不同的。而多小波可以應用的領域也很多，比如圖像壓縮，邊緣檢測，圖像切割，信息隱藏等領域。如果可以結合多小波自身的特點，夠針對不同問題選擇更加合適的小波基和預處理方法將會使得工作效率和處理效果得到很大的提高。

參考文獻

[1]王玲，多小波變換理論及其在圖像處理中的應用研究[D].陜西西安:西安電子科技大學，2000

[2]柳薇，馬爭鳴.基于平衡多小波圖像變換的視頻多描述編碼[J].中國圖像圖形學報.2004，9(12):67-72

[3]Jian-ao Lian， Armlets and balanced multiwavelets: flipping filter construction [J].IEEE Trans.On Signal Processing， 2005， 53(5):1754-1767

[4]X.G.Xia， J.S.Geronimo， D.P.Hardin， Design of discrete multiwavelet transforms， IEEE Transactions on Signal Processing， 1998，46(12)，1558-1570

[5]Xiang-Gen Xia， Jeffrey S.Geronimo， Douglas P.Hardin， and Bruce W.Suter， Design of Prefilters for Discrete Multiwavelet Transforms， IEEE Trans.Signal Processing， Vol.44， No.1， Jan， 1996， 25-35

[6]Miller J T， LiC C.Adaptive multiwavelet initialization.IEEE Trans SP， 1998， 46(12):3282-3292

[7]韓紹程，張兆寧，張玉金.基于平衡多小波的改進的盲水印算法[J].計算機工程與設計.2010，31(6):1379-1382

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