淺論化工類高等數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的思維能力發(fā)展①②

摘 要:本文主要針對在化工專業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一些問題進(jìn)行了探討，它包括對于極限思想的運(yùn)用、數(shù)形結(jié)合的方法解題、發(fā)散型思維的形成以及通過數(shù)學(xué)建模的方法，培養(yǎng)創(chuàng)造思維等等:著重提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)多學(xué)科復(fù)合型綜合人才的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞:大學(xué)數(shù)學(xué)極限微積分?jǐn)?shù)學(xué)建模

中圖分類號:G642文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2011)06(a)-0172-02

數(shù)學(xué)是一門非常重要的基礎(chǔ)科學(xué)，它與人類的生產(chǎn)和生活有著密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)家華羅庚同志曾經(jīng)說過:“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)”。高等數(shù)學(xué)作為理工科大學(xué)生的一門重要的基礎(chǔ)理論課，不僅為后繼課進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)還要逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括、邏輯思維、空間想象和自學(xué)能力，尤其是綜合運(yùn)用所學(xué)的知識去分析問題、解決問題的能力。化學(xué)中很早就應(yīng)用了數(shù)學(xué)，現(xiàn)代化學(xué)中圖論、群論等數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用得到了意想不到的成果，在1981年度諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)獲得者霍夫曼(R.Hoffmann)和福井謙一，他們就利用數(shù)學(xué)的群論建立和發(fā)展了著名的“軌道對稱守恒原理”。數(shù)學(xué)的思想方法已經(jīng)成為現(xiàn)代化學(xué)抽象思維及理論發(fā)展的有力工具。對于化工類專業(yè)的學(xué)生而言，只有掌握好數(shù)學(xué)的工具，才能利于它去更好地解決能源、質(zhì)量、環(huán)境等化學(xué)工業(yè)的相關(guān)問題，促進(jìn)化學(xué)工業(yè)的飛速發(fā)展。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，注意加強(qiáng)對數(shù)學(xué)基本思想方法的教學(xué)，對于學(xué)生能力的發(fā)展以及提高教學(xué)質(zhì)量都是大有益處的。

1 極限思想方法的運(yùn)用，培養(yǎng)動態(tài)思維

極限是高等數(shù)學(xué)的重要概念，極限的基本思想貫穿于高等數(shù)學(xué)的整個(gè)始終，很多重要的概念，如導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)等都是利用極限提出的。它是處理靜與動、常量與變量、有限與無限的基本手段，同時(shí)極限的方法貫穿于微積分學(xué)的始終。恰恰是極限方法的運(yùn)用，才產(chǎn)生了由初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的質(zhì)的飛躍。對于極限的定義和基本性質(zhì)的把握，是系統(tǒng)認(rèn)識整個(gè)理論體系的關(guān)鍵。

極限的概念是高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一個(gè)難點(diǎn)。在介紹極限概念時(shí)不僅要注意啟發(fā)學(xué)生在從描述性的定義上升到精確的數(shù)學(xué)抽象觀念的過程，認(rèn)真體會其中從量變到質(zhì)變的辯證關(guān)系，還要隨著其他基本概念的引入來逐步加深對極限思想的理解和對極限方法的運(yùn)用。恰恰是在這個(gè)過程中使學(xué)生對于極限及其方法的運(yùn)用有一個(gè)比較完整和深刻的認(rèn)識。

例1:求平面圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。我們曾經(jīng)用極限求和的元素法推導(dǎo)過，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積，根據(jù)元素法的推導(dǎo)方法，可得旋轉(zhuǎn)體的體積，這樣處理之后，課堂的講授和學(xué)生的思維都會很積極，使得學(xué)生注重于運(yùn)用方法去分析而不是簡單機(jī)械的套用公式。同時(shí)也為學(xué)生解決元素法的其他問題開辟了途徑。

由此可見，引入微元分析的方法處理應(yīng)用問題，又將極限的方法升華到一個(gè)新的層次。這幾種體現(xiàn)了極限方法的生動、簡潔與廣泛性。

2 數(shù)形結(jié)合的方法，發(fā)展類比思維

數(shù)學(xué)研究的就是各種抽象的“數(shù)”和“形”的結(jié)構(gòu)模式，這是對于學(xué)生理性思維的一種訓(xùn)練，而這種理性思維的訓(xùn)練對于培養(yǎng)學(xué)生全面素質(zhì)的提高，分析能力的加強(qiáng)，創(chuàng)新意識的啟迪都是至關(guān)重要的。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，有許多問題可以借助圖形輕松的解決問題，或者換句話說，用數(shù)形結(jié)合的方法，往往會使問題迎刃而解，來看下面的例子。

例2:設(shè)常數(shù)，則方程在內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為:

一般的，判斷方程根的個(gè)數(shù)有多種方法，但是對于填空或選擇類型的試題，就要求在盡可能短的時(shí)間內(nèi)給出正確的結(jié)果，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來思考問題。對于上題，可以先觀察方程左側(cè)，令在處切線斜率，對應(yīng)的切線方程為:，即;再比較方程右側(cè)，此直線與切線相互平行，而且在切線的下方，可以畫出它們的圖形(如圖1)。

由圖1可知，要判斷方程根的個(gè)數(shù)，其實(shí)就是看與 交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖可見有兩個(gè)交點(diǎn)，根的個(gè)數(shù)是2個(gè)。

3 運(yùn)用多種思路，培養(yǎng)發(fā)散型思維

所謂“發(fā)散性思維”是指信息處理的途徑靈活多變，求得結(jié)果的方法豐富多樣，它是一種立體式的思維，對于一些問題按不同的方向去思考探索，產(chǎn)生新的信息并獲得解決問題的多種方案，在高等數(shù)學(xué)中“一題多解”就是典型的激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維的方法。比如下例，

例3:當(dāng)時(shí)，證明不等式

證法一 利用拉格朗日中值定理:設(shè)在(或)上有，即，若，則，得證，時(shí)同理。

證法二 柯西中值定理:設(shè)，在(或)上有，，，所以，整理得

證法三 利用單調(diào)性

設(shè)，，若，則 ，在上單調(diào)遞增，，即 ;若，則，在上單調(diào)遞減，，還有成立，所以當(dāng)時(shí)，不等式成立。

證法四 利用泰勒公式，

的一階麥克勞林展式，，(介于0和之間)，

因?yàn)椋裕矗坏仁匠闪ⅰ?/p>

通過同樣一個(gè)題目解決不等式的證明問題，就可以啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)過的不同知識:利用微分中值定理、極值性單調(diào)性，還可以通過泰勒公式等等多種方法，解題的同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生用發(fā)散式思考問題的方法。

4 數(shù)學(xué)建模的方法，培養(yǎng)創(chuàng)造思維

對于數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用有很多，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，要努力培養(yǎng)、提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維，這是提高學(xué)生創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，使得學(xué)生“學(xué)以致用”，使他們在創(chuàng)造性思維的支配下，更好的解決實(shí)際問題。由于所教專業(yè)的特點(diǎn)，本文僅僅對于化工專業(yè)的學(xué)生舉兩個(gè)實(shí)際的例子，

例4:位于河邊的某造紙廠，向河中排放含有四氯化碳的污水，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門發(fā)現(xiàn)后責(zé)令該廠立即安裝過濾裝置，以減少并最終停止向河中排放四氯化碳。當(dāng)過濾裝置安裝完畢開始工作到完全停止排放污水，四氯化碳的排放速度與時(shí)間的關(guān)系為:其中時(shí)過濾裝置開始工作，問題:從過濾器開始工作到污液完全停止排放污水，要用多少時(shí)間？在此期間有多少四氯化碳流入河中？

解:完全停止排污時(shí):，即得

設(shè)在此期間四氯化碳流入河中量為，所以

因此，從過濾器開始工作到污液完全停止排放污水，要用4年時(shí)間，在此期間有32四氯化碳流入河中。

例5:某城市大氣污染指數(shù)取決于兩個(gè)因素:空氣中固體廢物的質(zhì)量和空氣中有害氣體的數(shù)量，假設(shè)，計(jì)算在處，當(dāng)增長或增長時(shí)，用偏導(dǎo)數(shù)估算的改變量。

解:這是求多元函數(shù)變化率的實(shí)際問題，設(shè)空氣中有害氣體的數(shù)量，且固定不變，當(dāng)空氣中固體廢物的質(zhì)量時(shí)，對的變化率為，當(dāng)增長，即從到，增長個(gè)單位;同理，當(dāng)增長，即從到，增長個(gè)單位，由此可見，大氣污染指數(shù)對于空氣中有害氣體的數(shù)量增長比對于空氣中固體廢物的質(zhì)量增長更為敏感，要控制大氣污染程度應(yīng)該重點(diǎn)控制有害氣體排放大的工業(yè)項(xiàng)目。

通過這兩個(gè)實(shí)際的例子，它的內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)的化工專業(yè)有密切的關(guān)系，這在數(shù)學(xué)教學(xué)中有很好的作用，一方面，學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)可以解決身邊息息相關(guān)的實(shí)際問題，另一方面，又進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的極大興趣，建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

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