基于可見圖的多重分形序列分析

摘要：可見圖方法把多重分形時間序列映射為相應的網絡，由于產生的網絡繼承了序列的一些重要性質，從而實現了通過可見圖提取序列特征。

關鍵詞：可見圖；多重分形；時間序列；度

中圖分類號：O1 文獻標志碼：A文章編號：1673-291X（2011）16-0314-03

一、可見圖算法

可見圖方法是由西班牙馬德里理工大學Lacasa與Luque等人提出的關于將時間序列點映射為相應網絡節點的數學算法。該方法的優點不但保留了原有序列的大部分性質，而且通過研究網絡參數可以提供更多關于有關序列的信息。先假設一標量序列為{yi|i=1，2，…，N}，其中N是記錄序列的最大值。若對于兩節點A（a，ya）、B（b，yb）之間的任意節點C（c，yc）滿足以下條件：

yc≤yb+（ya-yb）·

那么節點A、B相連，或稱其“可見”（如圖1所示）。一般情況下，周期序列、隨機序列、分形序列最終分別轉化為規則網絡、隨機網絡和無標度網絡。

圖1周期為4的標量序列轉換成規則圖[1]

二、可見圖在不同多重分形序列中的應用

1.含多個分形布朗運動（fBm）序列的組合。考慮到實際序列往往是多個時間序列的整合，如各種經濟指數的計算以及股市綜合指數等。如何用復雜網絡來理解這些序列的性質是我們深入研究的一個基本問題。為此將具有不同Hurst值的單分形序列按照一定的規律疊加，發現得到的混合序列具有多分形的性質。

首先，建立兩個標準化的fBm序列{y1i|i=1，2，…，N}和{y2i|i=1，2，…，N}，對應的Hurst值分別為H1和H2。一個混合序列可以表示為：zi=y1i+f·y2i，i=1，2，…，N。式中參數f是調節序列中兩個指數序列成分相對強度的參數，取值范圍0≤f≤1。一個多重的疊加序列可以表示為zi=f1·y1i+f2·y2i+…fw·ywi，其中，w是組分的個數，f1，f2，…，fw分別表示各組分的相對強度。

序列z就是序列y1和y2序列疊加后的混合序列，混合序列z分別受到不同指數序列成分的影響。為得到兩個單分形序列疊加后的普遍結果，我們隨機選用Hurst值分別為0.5和0.8的兩個序列疊加，調節參數f=1來分析問題。其疊加效果（見圖2）。

圖2

注：曲線表示由Hurst值為0.5和0.8的單分形序列疊加而成的混合序列，其中相對強度f=1。不影響計算結果的情況下，圖中曲線已做了垂直調整處理。

有了混合序列z，為證明該序列為多分形序列，我們先運用小波變換最大模方法（WTMM）[2~3]對其進行計算。通過計算可得到關于序列的質量指數τ（q）以及多重分形譜D（h）的分布圖。如下頁圖3（a）-（b）所示為混合序列z的相應配分函數和多重分形譜。由此明顯看到，這一疊加序列為一多重分形序列，其分形強度Δh=0.39。這說明兩個單分形序列疊加的序列已經不是單分形序列了，而是具有一定分形強度的多重分形序列。

現計算混合序列的Hurst指數值的大小，經過對τ（q）圖形擬合（見圖4），我們得到混合序列的Hurst值為0.54，也就是說混合序列的Hurst值更接近于那個具有較小Hurst值的成分序列，即在此例中接近于Hurst值為0.5的fBm序列。

運用可見圖的方法將混合序列z映射成網絡來計算網絡的度分布。計算結果（如圖5所示）。 圖中上三角符號表示混合序列，其度分布在雙對數坐標下是直線，即呈現冪率關系p（k）~k-α，我們用直線擬合其斜率近似等于1.67。兩個不同Hurst值的成分序列在雙對數坐標下顯然是冪律分布，線性擬合Hurst值等于0.5的成分序列的斜率近似等于1.63，而H值等于0.8的成分序列的度指數α為1.18與1.67相差較大。這一結果從一側面揭示了混合序列的冪率特性與H值較小的成分序列的冪率特性接近。

通過上述計算混合序列的Hurst值和度分布指數與其成分序列的關系可以得出，對于多個分數布朗運動疊加序列中多成分的競爭問題 [4]，可見圖的性質由較小的Hurst指數的序列成分決定，即fBm成分序列之間的競爭行為取決于H值較小的序列成分。

2.二進制多重分形序列。多重分形序列的產生機制是不盡相同的，上述混合序列是由單分形成分序列疊加而成，我們已經研究和討論了它的網絡結構和行為特征。現在讓我們來研究另一種不同種類的多重分形序列：二進制序列。考慮一序列的長度為N=2nmax，xk=an（k-1 ）（1-a）nmax-n（k-1 ），k=1，…，N（0.5

τ（q）=，h（q）=-這里生成的序列取參數a=0.75，序列長度N=216=65 536并使用MF-DFA2計算此序列的多重分形譜，結果（如圖6所示）。從圖中以及質量指數τ（q）的解析表達式，可以看出τ（q）不具有線性關系，即該序列為多重分形序列。

既然二進制模型給出的時間序列是多重分形序列，那它的度分布情況是怎么樣的呢，是否也同樣滿足冪率分布呢？應用可見圖方法生成網絡計算其度分布指數，結果（如上頁圖7所示），為便于視圖，縱坐標概率p（k）已做一定比例放大。從圖中顯示度分布在雙對數坐標下呈非線性，與上述混合序列的度分布圖有明顯不同。為得出全面的結論，我們以0.05為間隔來調整參數a從0.5到1，得到的完整結果（如表1所示）。

參數a以間隔0.05取不同值得到的序列相應映射

表1 網絡的度分布情況

3.非長程相關序列的分析。前述兩類多重分形序列各自分別具有其典型特征，第一類混合序列是由不同Hurst值的單分形序列疊加而成，應該說，通過這種方式建立序列在實際中有一定的普遍意義。對這類序列的研究揭示了疊加序列已不是單分形，而是多重分形序列，并且混合序列的分形行為與H值較小的那個成分序列相近。二進制序列的產生與序數k有關，并且這一序列為定值序列，即序列的每一項都是唯一確定的。第三類多分形序列通過隨機方式產生，即序列值的生成服從某一概率密度函數，從而保證了此類序列沒有長程關聯特性。

這里我們取序列以歸一化冪率分布概率密度P（x）=αx-（α+1）生成，為保證所得序列的q階矩〈|x|q〉=|x|qP（x）dx絕對收斂，其中參數0.5≤α≤2，而序列值x的取值范圍為1≤x＜∞。以參數α=0.55為例，運用WTMM-3即用三階小波函數g3計算序列的質量指數τ（q），結果（如圖8所示）。

從圖中能明顯表明，在q<α區域，τ（q）與q呈現線性關系，而當q>α時，τ（q）值幾乎于零。由此說明該多重分形序列為雙分形序列。引起注意的是，不論我們選取不同的參數α，由勒讓德變換式τ（q）=qh（q）-1，必然有h（2）=1/2。由于h（q）是MF-DFA中q階波動函數Fq（s）的冪指函數，h（2）就是相應序列的Hurst值，因此，H值等于0.5也充分證明生成的序列為完全隨機序列，即該序列沒有關聯特性。

同樣，由可見圖方法得到的度分布圖（如圖9所示），從圖中能明顯觀察到在雙對數坐標下，P（k）與k的關系不呈現冪律特征，即也不是power-law分布。為得到普遍結論，調節參數以0.05為增量，從0.5到2，所得結果（見表2）。

三、綜合與結論

可見圖方法是一種將時間序列映射成相應網絡的工具，從而架起一座從序列到網絡的橋梁，實現了通過研究網絡上的拓撲參數達到揭示原序列固有特征的目的。由此，可以說可見圖方法為今后研究時間序列開辟了一條新的思路，是對傳統時間序列研究方法的革新與發展，必將對今后序列研究產生一定的啟發意義。

參考文獻：

[1]Lucas Lacasa，et al.From time series to complex networks：The visibility graph.PNAS，2008，105：4972-4975.

[2]J.F.Muzy，E.Bacry，and A.Arneodo.Wavelets and Multifractal Formalism for Signals：Application to Turbulence Data，Phys.Rev.Lett.，

1991，67：3515.

[3]J.F.Muzy，E.Bacry，and A.Arneodo.Multifractal formalism for fractal signals：The structure-function approach versus the wave-transform

modulus-maxima method，Phys.Rev.E.，1993，47：875.

[4]王建波.基于復雜網絡理論的時間序列分析[D].上海：上海理工大學，2010.

[5]Jan W.Kantelhardt，etal..Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series，Physica A，2002，316：87-114.

Multifractal Series Analysis Based upon Visibility Graph

TANG Zhen

（Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Abstract：By means of Visibility Graph method to map time series into corresponding network，we can obtain more intrinsic information on series，which is a effective way because of series charactisics is inherited in integrity.

Key words：visilibity grahp；multifractal；time series；degree [責任編輯 陳鶴]

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文