數學建模在生活中的應用

摘要：數學建模就是學習如何把物理的復雜的世界用適當的數學語言描述出來，進而用數學的手段對模型加以分析，然后再用所得結論回歸現實，指導實踐。數學建模是聯系實際與理論的橋梁，是應用數學知識解決實際問題的必經環節。將初等數學知識與生活中的實際問題相結合，介紹了幾種常見類型的數學建模方法。

關鍵詞：數學建模；最優化問題；金融與經濟；估算與測量

中圖分類號：G640文獻標志碼：A文章編號：1673-291X（2011）18-0321-02

數學來源于生活，又服務于生活。生活中的數學建模涉及到的問題比較貼近我們的實際，具有一定的實踐性和趣味性，所需知識以初等數學為主，較容易入手與普及。因此，生活中的數學建模應成為培養大眾數學應用意識、提高學生數學思維水平、分析和解決實際問題的能力的重要途徑。

本文擬將初等數學知識與生活中的實際問題相結合，對幾種常見類型的建模技巧進行簡要的分析、歸納。

一、基本概念

數學模型：把某種事物系統的主要特征、主要關系抽象出來，用數學語言概括地或近似的表述出來的一種數學結構。它是對客觀事物的空間形式和數量關系的一個近似的反映。

數學建模：建立數學模型解決實際問題過程的簡稱。

二、建模步驟

這里所說的建模步驟只是大體上的規范，實際操作中應針對具體問題作具體分析，靈活運用。數學建模的一般步驟如下：

1.準備模型。熟悉實際問題，了解與問題有關的背景知識，明確建模的目的。

2.建立模型。分析處理已有的數據、資料，用精確的數學語言找出必要的假設；利用適當的數學工具描述有關變量和元素的關系，并建立相應的數學模型（如方程、不等式、表格、圖形、函數、邏輯運算式、數值計算式等）。在建模時，盡量采用簡單的數學工具，以使模型得到更廣泛的應用與推廣。

3.求解模型。利用數學工具，對模型進行求解，包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明、性質討論等。對模型求解的結果進行分析，根據實際問題的性質分析各變量之間的依賴關系，有時需要根據所得結果給出數學式的預測和最優決策、控制等。

4.檢驗模型。把模型分析的結果返回到實際應用中，用實際現象、數據等檢驗模型的合理性和實用性，即驗證模型的正確性。通常，一個成功的模型不僅能夠解釋已知現象，而且還能預言一些未知現象。

如果檢驗結果與實際不符或部分不符，而且求解過程沒有錯誤，那么問題一般出在模型假設上，此時應該修改或補充假設。如果檢驗結果與實際相符，并滿足問題所要求的精度，則認為模型可用，便可進行模型應用與推廣。

三、分類討論

我們將按照初等數學知識在不同生活領域的應用，也即生活中的數學建模的不同題型作分類討論。本文節選三類問題進行分析：最優化問題；金融與經濟；估算與測量。

（一）最優化問題

最優化應用題包括工農業生產、日常生活、試驗、銷售、投資、比賽等方面，分最值問題、方案優化的選擇、試驗方案的制定等類型。對于最值問題，一般建立函數模型，利用函數的（最值）知識轉化為求函數的最值；而對于方案的優化選擇問題是將幾種方案進行比較，選擇最佳的方案。

例1（客房的定價問題）：一個星級旅館有150個客房，每間客房定價相等，最高定價為198元，最低定價為88元。經過一段時間的經營實踐，旅館經理得到了一些數據：每間客房定價為198元時，住房率為55%；每間客房定價為168元時，住房率為65%；每間客房定價為138元時，住房率為75%每間客房定價為108元時，住房率為85%.欲使旅館每天收入最高，每間客房應如何定價 ？

分析與思考：

據經理提供的數據，客房定價每下降30元，入住率即提高10個百分點。相當于平均每下降1元，入住率提高1/3個百分點。因此，可假設隨著房價的下降，住房率呈線性增長。

這樣，我們可通過建立函數模型來求解本題。設y表示旅館一天的總收入，與最高價198元相比每間客房降低的房價為x元，可建立數學模型：

y=150×（198-x）×0.55+x

解得，當x=16.5時，y取最大值16 471.125元，即最大收入對應的住房定價為181.5元。如果為了便于管理，定價為180元/（間#8226;天）也是可以的，因為此時總收入y=16 470元，與理論上的最高收入之差僅為1.125元。

本題建模的關鍵在于：根據房價的降幅與住房率的升幅關系，假設兩者存在著線性關系。

（二）金融與經濟

現代經濟生活中，人與金融之間的關系日益密切。金融類的題目注重了針對性、典型性、新穎性和全面性，因而對數學素質方面的要求就更高。

涉及金融與經濟的建模題常見的有投資問題、住房貸款問題、分期付款問題、證券問題等。一般的做法是通過數學建模將此類題型轉化為初等數學中的常用知識點來解決，如數列問題、冪函數問題、不等式問題等。

例2（購房貸款）：小李年初向銀行貸款20萬元用于購房。已知購房貸款的年利率優惠為10%，按復利計算。若這筆貸款要求分10次等額歸還，每年一次，并從借款后次年年初開始歸還，問每年應還多少元（精確到1元） ？

分析與思考：

已知貸款數額、貸款利率、歸還年限，要求出每年的歸還額。本題即可化為求每年的歸還額與貸款數額、貸款利率、歸還年限的關系。

不妨先把這個問題作一般化處理。設某人向銀行貸款元M0，年利率為α，按復利計算（即本年的利息記入次年的本金生息），并從借款后次年年初開始每次k元等額歸還，第n次全部還清。那么，一年后欠款數M1=（1+α）M0-k

兩年后欠款數M2=（1+α）M1-k =（1+α）2M0-k[（1+α）+1]

………………

n年后欠款數Mn=（1+α）Mn-1-k=（1+α）M0-

由Mn=0可得k=

這就是每年歸還額與貸款數額、貸款利率、歸還年限之間的關系式。

對于上述購房問題，將α=0.1，M0=200 000，n=10代入得

k= ≈32 549.6（元）

故每年應還32 550元。

本題建模的關鍵在于：將求每年的歸還額與貸款數額、貸款利率、歸還年限的關系化為數列計算問題。

（三）估算與測量

估計與測量是數學中最古老的問題。估算與測量類的建模題，其背景包括人們日常生活和生產、科學技術等方面的一些測量、估算、計算。

對于估算與測量的題目，一般要先理解好題意，正確建模，然后通過周密的運算，找出結論。這類題目常?？赊D化為函數、不等式、數列、二項式定理展開式、三角函數等知識進行處理。

例3（挑選水果問題）：上街買水果，人們總喜歡挑大的，這是否合理呢 ？

分析與思考：

從什么角度來分析此問題呢 ？要判斷合理與否，首先要明確判斷的標準。一般來說，買水果主要供食用。故下面從可食率這個角度加以分析。

水果種類繁多，形狀各異，但總的是近似球形居多。故可假設水果為球形，半徑為R，建立一個球的模型來求解此題。

挑選水果的原則是可食率較大。由于同種水果的果肉部分的密度分布均勻，則可食率可以用可食部分與整個水果的體積之比來表示。分以下幾種不同類型的水果分別剖析：

1.果皮較厚且核較小的水果，如西瓜、橘子等。同類水果的皮厚度差異不大，假設是均勻的，其厚為d，易得

可食率＝=1-3

2.果皮較厚且有核（或籽集）較大的水果，如南方的白梨瓜等。此類水果計算可食率時，不但要去皮且要去核。設核半徑為kR（k為常數，0

可食率==1-3-k3

上兩式中，d為常數，當R越大即水果越大時，可食率越大，越合算。

3.有些水果盡管皮很薄，但考慮衛生與外界污染，必須去皮食用，如葡萄等。此類水果與（1）類似，可知也是越大越合算。

本題建模的關鍵在于：從可食率入手，利用水果的近似球形，建立一個球的模型，將求可食率的大小轉化為求關于水果半徑R的單調性。

生活中的數學建模是在實際問題與初等數學知識之間架起一座橋梁，使初等數學知識在不同領域的應用得以生動地展示，再現數學知識的產生、形成和應用的過程。

我們的數學建模應該密切關注生活，將知識綜合拓廣，使之立意高，情境新，充滿時代氣息。這對培養思維的靈活性，敏捷性，深刻性，廣闊性，創造性是大有益處的。

參考文獻：

[1]卜月華.中學數學建模教與學[M].江蘇:東南大學出版社，2002.

[2]馬春華，鄭小玲.高中數學應用題題型突破例釋[M].北京:龍門書局，2002.

[3]李云鼎，許少華.點擊解析幾何[J].中學數學雜志(高中)，2006，(1):45-48.

[4]上海市中學生數學應用知識競賽委員會.中學應用數學競賽題萃[M].上海:華東師范大學出版社，2002.

[5]金明烈.中學數學應用[M].烏魯木齊:新疆大學出版社，2000.[責任編輯 魏杰]

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文