不等式的指數(shù)推廣與應用

費清平，葉秀婷

(1.深圳市南頭中學；2. 惠州學院數(shù)學與統(tǒng)計學院)

0 引言

不等式問題是數(shù)學競賽中的熱點問題，每一屆數(shù)學競賽中幾乎都會涉及到不等式[1]。因此，研究不等式、對不等式進行推廣，不僅有利于不等式本身的發(fā)展，而且一定程度上促進了數(shù)學競賽的發(fā)展。

(1)

其中a1,a2,…,an∈(0,+∞),n>k≥1(k∈+)。當k=1時，不等式(1)變成：

(2)

其在形式結(jié)構(gòu)上與一類關于不等式的數(shù)學競賽題目具有很大的相似性，例如文獻[3]中的特例1，特例2，特例5，特例6等等。歸結(jié)起來，這類題目結(jié)構(gòu)如下：

(3)

是由n個正數(shù)構(gòu)成的n個分式和不等式，其中n個分母都是n-1個正數(shù)之和，且每個正數(shù)在分母中共出現(xiàn)n-1次，分子都是不包含在分母中的正數(shù)的m次冪[4]。

(4)

證明 記bi=ai+ai+1+…+ai+k-1,(an+1=a1,an+2=a2),即

不妨設b1≥b2≥…≥bn>0，則b1α≥b2α≥…≥bnα>0，且0

(S-b1)-β≥(S-b2)-β≥…≥(S-bn)-β.

運用切比雪夫不等式得

又運用冪平均不等式，由于α≥1，所以有

因此，

又因為-β<1，所以有

于是

從而

即有

因此不等式(4)得證。

特別地，在不等式(4)中，取k=1時可得以下推論,

推論1 設a1,a2,…,an∈(0,+∞)，n>1，n∈，

且α≥β>0，α≥1，則

(5)

(6)

證明 因為α≥β≥1，對正數(shù)x1,x2,…,xn運用冪平均不等式

則

對不等式(6)左邊各分式的式子運用以上不等式，然后再利用不等式(4)得不等式(6)的左邊

再次運用冪平均不等式，因為β≥1，所以有

則

從而有

所以，不等式(6)得證。

(注：定理1與定理2中要求指數(shù)α≥1，但當α≤-1時，有-α≥1，此時仍然滿足兩個定理的條件，因此當指數(shù)α≤-1時兩個定理仍適用。)

2 新不等式在一類數(shù)學競賽題中的應用

下面簡要給出本文結(jié)果在形如不等式(3)這類數(shù)學競賽題中的便捷應用，例如引言部分提到的幾個例子。

例1 (第2屆“友誼杯”國際數(shù)學競賽)若a，b，c是正數(shù)，證明：

證明 在不等式(5)中，取n=3，α=2，β=1得

故原不等式得證。

注：在不等式(6)中，取k=1，n=3，α=2，β=1同樣可得上述證明結(jié)果。

例2 (第31屆IMO預選題)若a，b，c，d是滿足ab+bc+cd+ad=1的非負實數(shù)，試證：

證明：在不等式(5)中，取n=4，α=3，β=1得

因為ab+bc+cd+ad=(a+c)(b+d)=1，所以

[(a+c)+(b+d) ]2≥4(a+c)(b+d)

?(a+b+c+d)2≥4

因此，

原不等式得證。

注 在不等式(6)中，取k=1，n=4，α=3，β=1同樣可得上述證明結(jié)果。

例3 (第28屆IMO預選題)若a，b，c是三角形的三邊邊長，且2S=a+b+c.試證：

這里m≥1.

證明 在不等式(5)中，取n=3,α=m,β=1得

注 在不等式(6)中，取k=1，n=3，α=m，β=1同樣可得以上證明結(jié)果。

例4 (第四屆數(shù)學冬令營)設x1,x2,…,xn都是正數(shù)(n≥2)，且

求證：

運用冪平均不等式得

所以

故原不等式得證。