一題多解對培養學生能力的作用

進入21世紀，各國對數學教學目的中能力的培養都很重視，幾乎所有國家都提出要發展學生運用數學知識，分析和解決問題的能力。比如美國的數學課程標準中就提出培養推理能力、數學洞察力、解決問題的能力，以及對數學的欣賞能力。在數學教學實踐中，筆者個人認為：在復習課中引入一題多解，非常有利于學生上述能力的培養。因為在復習課中，學生已具備一定的數學知識與技能，具有一定的分析、解決問題的能力。

一、培養發散思維品質，拓寬解題思路，提高解題靈活性

例1：求函數的最大值與最小值。

這個看似并不復雜的問題，復習課上，通過引導可培養學生的發散思維品質，提高學生分析問題的能力、應用數學知識的能力、解決問題的能力和觀察能力。

通過一題多解，可以加深學生對題目的形式、組成元素以及題目隱含的邏輯（因果）關系的認識，從而培養了學生的數學洞察力和推理能力，拓寬解題思路，提高解題的靈活性。就本問題而言，通過引導觀察，從題形結構（形式與組成元素）的各個窗口入手，本題有三種解法：

1.三角函數解法

本題形式上是三角函數，可以從三角函數的角度進行思考。

解法1：變形，原式化為

２.利用斜率的思想

①因為與斜率公式相似，可變形為，可看成是點A（sinx，cosx）與點B（3，-2）連線斜率的，而點A在單位圓上。如圖（1），可知KBC≤K≤KBD，過B點的直線方程為y+2=K（x-3），即Kx-y-3k-2=0，由直線與圓有交點，得d≤1。

②由上聯想，可以看成點A(，)與原點連成的斜率，而點A在橢圓上。

③也可以看成是點A（，）與點B（9，-4）連線的斜率，點A在橢圓上，如圖（2）。此時KBC≤K≤KBD，而過點B的直線y+4=K(x-9)，即Kx-y-9K-4=0與橢圓有交點，代入橢圓方程得：(4+9K2)x2-18K(9K+4)x+9(9K+6)(9K+2)=0，由判別式等于0得：

或∴

以上三種解法，是由所給的函數形式，聯想到斜率，其中一點的坐標中含有參數，是一個動點，消去參數后，發現它們在不同的曲線上，問題轉成了直線與曲線（圓、橢圓）的關系，利用點到圓相交的直線距離不大于半徑建立不等式，當直線與橢圓有交點時，解方程組，轉化為一元二次方程，若方程有解，判別式不小于零，建立不等式，把直線的斜率問題融入到不等式中。

3.利用直線與圓的位置關系

將轉化為，看成是點A（，）在直線2u-3yv-9y-4=0上，而點A又在單位圓u2+v2=1上，直線與圓有交點時，得。這種想法在于與直線的一般方程類似，自然、是兩個變量，是直線方程的解，而點（，）又在單位圓u2+v2=1上，這樣一來，點在單位圓上，又在直線上，說明直線與圓有交點，點到直線的距離不大于半徑，從而建立不等式。通過上面的教學過程，我們看到通過對式子的結構特征的仔細觀察（觀察能力的培養）充分挖掘變量即充分理解、分析、探索變量的意義，還能培養學生的發散思維，提高分析能力。不僅如此，在整個探索的過程中，也把學生的情感帶入了奇妙的數學王國。

二、培養學生的數學欣賞能力

將一題多解引入課堂，可使課堂變得奇妙無窮。在多解的探索過程中，尤如一次歷險記，學生的情感被帶入了奇妙的數學王國，沿途學生也可感受題目的構造美、圖形美、因果美、推理美、創造美、對稱美，真是美不勝收，能夠培養學生的數學欣賞能力。

數學是一門思維的學科，數學題常常一題多解。這是一道普通題，通過本題多解，我們化平淡為神奇，在數學中，如果我們經常給予強化，引導學生尋曲探幽，久而久之，學生必定為數學的美所吸引激發學習熱情，最后形成學生自己的推理能力，應用知識的能力，在實踐中得出最佳解題方法，從感性認識——理性認識的飛躍，這樣洞察力自然形成。

三、培養學生綜合應用知識的能力

平時課堂學習主要是概念、公式、公理、定理為主線，按計劃有順序一章、一節地進行，老師們通過很多好的方法提高課堂質量，提高學生的數學能力，但畢竟還是比較零散的，即使有系統歸納，但我個人感覺都沒有一題多解這種方式來得“刺激”。一個問題，它可涉及知識的多方面，從不同的觀察點出發，引發不同的知識應用，就本例而言，它涉及斜率公式，點到直線的距離公式，圓、橢圓及其參數方程，還有直線與曲線的位置關系，由此又涉及初中的解方程組及判別式，等等。一題多解，通過復習課的討論，各人或各小組都能得出正確答案，這將大大開闊學生眼界，刺激固有的思維模式，從而重視知識點的學習，自覺探索知識的應用，這種思想無論就數學而言，還是對將來的工作來說，都有不可估量的作用，這與新課標的思想是相符合的。

例2：已知x，y∈R，滿足3x+4y2=10，求x2+y2的值。

解法（1）（函數法）由3x+4y2=10得

，代入得

，當且僅當，時等號成立。

∴x2+y2的最小值為4

解法（2）（切線法）令x2+y2=r2(r＞0)

由得5x2-12x+(20-3.2r2)=0

由Δ=122-4×5×(20-3.2r2)=0得r2=4

∴x2+y2的最小值為4

解法（3）（幾何法）由點O（0，0）到直線3x+4y=10的距離公式，得：

∴d2=x2+y2=4，即x2+y2的最小值為4。

解法（4）（參數法）方程3x+4y=10可化為

代入得x2+y2=(t-1)2+4≥4

當且僅當t=1時，等到號成立

∴x2+y2的最小值為4

四、提高解決問題的能力

數學歷來反對培養書呆子。有教育家說：將來的文盲不是不認識字的人，而是不懂得運用知識的人。一題多解，在數學中很常見，在復習課中適當的時候引入一題多解，對提高學生的解題能力大有裨益，因為在挖掘一題多解時，要充分運用所學知識，尋找條件與結論之間的關系，調動數學思想（轉化數形結合、類比……）及不同章節的知識乃至不同學科的知識，從不同角度去分析、解決問題。經常訓練對促進思維，培養學生的觀察能力、分析能力、綜合能力等益處多多。一題多解也是一種研究型學習方法，值得探索。

（作者單位：福建省晉江華僑職業中專學校）

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