淺談小波分析教學

[摘要]：本文介紹了如何利用學科發展的線索串聯起教學內容，讓學生通過實踐掌握抽象理論的實質，并結合了教學實際講授學科的最新發展，拓展了學生的眼界和知識面。

[關鍵詞]：小波分析 教學內容 學科發展

一、引言

小波作為信號處理的強有力的工具已經在圖像處理、語音處理、時頻分析、故障診斷、金融分析、模式識別等眾多領域得到了廣泛的應用。JPEG2000就采用了小波變換作為圖像壓縮的標準。在很多高校，小波分析已是數學學科和信息學科的研究生的必修課和高年級本科生的選修課程。筆者在揚州大學信息工程學院也多次講授了這門課程。選課對象是以信息與信號處理專業為主的碩士研究生和部分高年級本科生。鑒于選課學生并沒有學過課程所涉及到的調和分析和泛函分析等較深的數學知識，甚至對Fourier分析也缺乏較深入的了解，筆者不得不從Fourier分析的內容開始講授。因此筆者所講授的這門課程涵蓋了從Fourier分析到小波分析的基本內容。

二、以時頻局部化分析為中心任務，利用學科發展線索串聯教學內容

考慮到學生起點較低的實際狀況，我們緊緊圍繞時頻局部化這一中心任務，依次介紹Fourier變換、加窗Fourier變換、加伸縮窗的Fourier變換、小波變換的基礎知識。按照這條線索串聯教學內容不僅順應了學科的自我發展規律，而且由淺入深、從低到高的知識階梯讓學生容易掌握。在這條線索中，把加伸縮窗的Fourier變換中的頻率部分eiξ去掉，就自然引出了小波變換。也即僅依靠伸縮率和時間變量也能夠分解和重構一個信號，這就是小波變換。因為取消了具有頻率或者周期性的指數函數eiξ，小波變換要求“窗函數”（在小波變換中稱為小波函數）具有某種震蕩性。跟周期性相比，震蕩性顯然要來得更寬松。如果采用一般教科書上直接給出小波變換的定義的方法，而缺乏學科發展背景的鋪墊的話，學生不容易掌握其實質且無法從總整體上把握小波變換在學科發展中的作用和地位。

信號處理學科中最重要的主題是時頻局部化的研究。時頻局部化的研究也推動著這門學科的發展。Fourier分析只能分別處理時域或者頻域而不能二者兼顧；加窗Fourier變換能夠同時對時域和頻域進行分析，但因窗函數的類型是固定的，分析的精度或分辨率因而不能隨意調整；對于伸縮窗而言，則可以通過調整伸縮率來調整時域或者頻域的分析精度。剛才已經提到，小波變換只用伸縮率和時間變量就可以同時做時域和頻域的分析，而且時域與頻域的分辨率或者精度可以通過伸縮率的變化而得到調整。這就是小波變換的精妙之處。學生如果了知這一點，就可以掌握小波變換以及Fourier變換的精髓了。當然，在小波變換中伸縮率通常叫做尺度，頻域也被尺度域取代。但是頻率和尺度之間的對應關系是很明確的，因而我們可以做這樣的對比。

這些變換都有類似的的基本性質，比如各種變換的反演公式、Parseval恒等式和不確定原理等。盡管這些性質在不同的變換下有著不同的表現形式，但是表達的內容卻是固定的。比如，Parseval恒等式告訴我們信號的能量是守恒的，即從頻域的角度和從時域的角度去計算能量都是相等的；不確定性原理則告訴我們時域和頻域的分析精度不可能同時得到無限提高。這樣的教學有利于學生透過外在的不同形式去掌握這些原理和性質的本質內容，整個教學過程也因此可以串聯成一個整體。

三、結合實例和應用，介紹多分辨分析等小波分析的核心內容

多分辨分析是小波分析的精髓，也是學生難以掌握的內容。在多分辨分析理論提出之前，有著五花八門的小波基的構造方法。最終由Mayer和Mallat提出了多分辨分析，統一了各個流派的構造方法。因為具有一定正則性的小波基，一定可以通過多分辨分析理論構造出來。我們有意避開小波基構造的各種這些支流理論而直接講授多分辨分析。

我們結合應用來講授比較抽象的多分辨分析理論。讓學生從直觀實例入手，在實踐中理解和把握多分辨分析的核心內容，同時也鍛煉了學生解決實際問題的能力。比如，我們可以用Harr小波對一維信號進行逼近和壓縮。逼近的程度或壓縮比的大小可以通過調節Haar函數的尺度來實現。這些不同尺度的Harr函數很自然地引出由Harr小波生成的多分辨分析。同時，由Harr分解和重構算法也很自然地過渡到一般的多分辨分析的分解和重構算法。我們這部分的教學思路受到了教材的啟發。

多分辨分析理論在二維圖像處理中有著重要的應用。我們利用Matlab的小波工具箱的使用手冊以及演示模塊，教導學生開展圖像壓縮的實驗，提高了學生的學習興趣和動手能力，也使得對多分辨分析等小波理論有了進一步的體驗和理解。

四、拓展學生知識面，介紹學科最新進展

在教學中，我們不僅注重經典內容的講授，還對所涉及到的本學科的最新進展做一定程度的介紹。比如，我們從講解小波系數為什么具有稀疏性入手，繼而延伸介紹了最近發展起來的稀疏重構技術。該技術通過對稀疏信號進行觀測而非采樣，只需少量觀測點就能精確的重構原始信號。其觀測頻率可以遠遠低于奈奎斯特采樣頻率。這種技術也稱之為壓縮感知或壓縮采樣，是近年來國際上迅速興起的熱門研究方向。這樣的安排既深化了教學內容，也拓展了學生的知識面，吸引了他們進一步學習的興趣。

五、小結

本文介紹了作者在小波分析課程教學方面的一些體會：注重學科發展的線索，利用理論線索串聯教學內容，使之具有整體性和內在連續性；讓學生通過實踐掌握抽象理論的實質，提高動手能力，深化對所學內容的體驗和理解；結合教學實際講授學科的最新發展，拓寬學生的眼界和知識面。受篇幅所限，我們還有一些教學體會如利用時頻對偶的觀點看待各個變換的基本性質等并未得到展開。

參考文獻：

[1]A. Boggess and F. J. Narcowich， A first course in Wavelets with Fourier Analysis Prentice Hall， 2001.

[2]S.Mallat， A Wavelet Tour of Signal Processing (third edition)， Elsevier Inc. 2009.

[3]Wavelet Toolbox User’s Guide， The MathWorks， Inc. 2002.