如何將操作經驗內化為數學經驗

小學生數學知識的習得，抽象數學概念的建構，是按照“動作認知（操作水平）——圖形認知（表象水平）——符號認知（分析水平）”的秩序漸進發展的。在實際教學中，有的教師只注重引導學生通過操作活動獲取感性的經驗，忽略了讓學生親身經歷把操作經驗內化為數學經驗的過程，導致數學抽象思維活動因缺少數學表象經驗的跟進而缺乏應有的寬度和深度，降低了操作的實效。如何將具體的操作經驗內化為抽象的數學經驗呢？

一、活動組織：變“一”為“幾”，夯實感性經驗基礎

學生的數學思維活動是以數學表象為基礎的，而數學表象又源于直接的感性經驗。感性經驗的獲取往往離不開操作活動的支撐。教學實踐表明，形式多樣的操作活動能夠充分調動學生的多種感官參與感知，使其獲得豐富的感性經驗。為此，教師要跳出“一例一動”的束縛，變“一”為“幾”，組織多樣化的操作活動，幫助學生積累具體、鮮活的感性經驗。

例如，教學“長方形和正方形”時，教師可以設計如下操作活動：（1）找一找：找出教室里哪些物體的面是正方形（或長方形）。（2）擺一擺：用小棒擺出長方形（或正方形），感受方位、大小不同的長方形和正方形。（3）折一折、量一量、比一比：利用長方形和正方形紙片折、量、比，觀察長方形和正方形的邊和角各有什么特點，并把自己的發現記錄下來。（4）說一說：長方形和正方形有哪些相同之處和不同的地方？（5）圍一圍：先想一想長方形和正方形的樣子，再把想到的長方形和正方形在釘子板上圍出來，（6）拼一拼：用兩副同樣的三角尺分別拼成一個長方形和正方形。（7）剪一剪：用一張長方形的紙折出一個最大的正方形，再剪下來。（8）畫一畫：在方格紙（每個小方格邊長1厘米）上各畫一個長方形和正方形，并說出長方形和正方形每條邊的長度。

這樣，學生在數學活動中，通過多層次、多形式的操作活動以及在活動中的觀察、思考、交流，不僅獲得了豐富的有關長方形和正方形特征的感性經驗，而且培養了主動探索和動手實踐的能力。

二、教學節奏：變“快”為“慢”，強化表象經驗積累

數學表象在學生的數學思維活動中具有中介、橋梁的作用。操作經驗的內化離不開清晰的數學表象。操作活動的節奏影響著學生數學表象形成的清晰度。為此，教師要把握好操作活動的節奏，變“快”為“慢”，特別要關注學生對介于具體思維和抽象思維之間的數學表象的充分感知，強化表象經驗積累。

例如，教學“8和9的加減法”時，首先，教師可以要求學生借助“珠子”進行操作：第一堆擺2顆珠子，第二堆擺6顆珠子，再把兩堆合并在一起，然后從8顆中移走2顆……如此不斷變換形式，調控好操作速度，實現人人參與擺珠子，并在操作、觀察和交流中初步體會到不同的擺法表示不同的含義。擺珠子時，可以采用不同的方法：合并在一起，珠子多了，用加法；移走一部分，珠子少了，用減法。并通過多媒體借用“○”來把擺珠子的“合并”或“移走”的過程動態演示出來：

要求學生邊看圖示邊思考，說出擺的過程及其涵義，讓學生再次體驗到加法、減法意義的聯系與區別。圖（1）用加法計算，因為“？”表示“總數”；圖（2）用減法計算，因為“？”表示“部分數”。然后呈示圖（3），這時學生立即產生疑問，為什么“？”的位置不同仍用減法計算。此時，教師再次放慢探索的步伐，引導學生對圖（2）、圖（3）進行對比分析，讓學生在比較中深刻領悟到：兩者都是求“部分數”，所以都用減法。但因為所表示的是不同的部分，所以“？”號的位置也就不同，因而所列的算式也就不同。最后，讓學生根據圖示列出算式進行解答。

在學生發生疑問時，教師放慢探索的步子，通過多種形式的強化活動，借助珠子、圖形等中介，實現了“操作——圖示——算式”的有機結合，溝通了具體的實物與抽象的符號之間的內在聯系，豐富了表象經驗積累。

三、數學思考：變“明”為“隱”，突出數學表象鏈接

操作不僅在于積累數學表象，更注重抽象、提升。數學表象只有具有一定的抽象性、概括性，才能溝通直觀經驗與抽象經驗的聯系。為此，教師在強化表象時，不能只停留于具體直觀思維，就事論事，而要適度抽象，適時反思，幫助學生建立起具有一般性、概括性的數學表象，進而促進學生自主內化數學活動經驗，提升數學思維能力。

例如，教學“有余數除法”：“有23盆花，每組擺5盆，可以擺幾組？還多幾盆？”教師可以這樣設計：（1）擺一擺：先讓學生用小圓片代替花盆動手擺一擺，并將擺的結果以圖出示，然后引導學生觀察、分析、交流，使學生初步感知：可以將23盆花平均分成4份，還多3盆。從圖示中可以清楚地看出，剩下的3盆是平均分后余下的數，稱為余數。這是圖示與余數意義的第一次結合，很好地呈現了余數概念的形成過程，而旁邊出現的“余數”一詞概括了“3盆”的實質——余下的數。（2）畫一畫：讓學生用“△”表示花盆，把剛才擺的過程在練習本上畫出來，邊畫△邊說出擺的過程。教師相機出示算式表示擺的過程并作相應的板書：

再讓學生結合擺圓片或畫△的情況說出板書中“23、5、4、3”所表示的意思，特別是“3”表示的意思，使學生深刻理解余數的含義——平均分后還剩下的數。由擺圓片到抽象出算式，學生在頭腦中建立起數與形的一一對應關系，經歷了符號化的過程，進一步將概念的表征與實質聯系起來。（3）想一想：如果再增加1盆花，可以怎么擺？增加2盆呢？先讓學生憑借剛才的操作經驗進行想象，如果想象有困難，再動手擺一擺或畫一畫。然后組織學生進行觀察、比較、交流，讓學生在思辨中統一認知：當“余數”和除數相等時，商可以再增加1，而余數沒有了則用0表示。這樣就幫助學生深刻理解了余數的本質特征，認識了有余數除法的意義。

上述案例中，操作活動從圓片過渡到圖形再到抽象出算式，思維由動作化到表象化再到抽象化。漸進抽象的操作載體，使數學思維不再局限于某個特定實物，而是變“明”為“隱”，并引發學生結合具體事例進行個性化詮釋，多角度尋求與數學意義相一致的數學模型，進而突出了數學表象與思維過程的鏈接。在將操作經驗內化為數學經驗的過程中，要充分發揮介于具體的操作經驗與抽象的數學經驗之間的“圖形認知”的橋梁作用，有效溝通形象體思維和抽象思維之間的聯系，使學生的數學思維按“動作思維——形象思維——抽象思維”的順序由淺入深，循序漸進，不斷提升，有效地將具體的操作經驗內化為抽象的數學經驗。

作者單位

福建省上杭縣臨江城東小學

◇責任編輯：曹文◇