“問題導學”下的復習課教學模式

【關鍵詞】 問題導學探究課教學模式

【文獻編碼】 doi:10.3969/j.issn.0450-

9889（B）.2011.07.004

復習課，指依據記憶規律，通過特定的課堂教學活動對學生已經建構的知識進行鞏固、拓展的課型。其主要任務是：在引導學生復習舊知的過程中，深化學生對所學內容的理解，進一步系統地掌握基礎知識、基本技能和基本方法，完善知識結構，提高綜合運用數學知識，分析和解決問題的能力。

從知識與技能目標上看，復習課重在構建知識體系，將知識內容結構化，這種“學科結構觀點”也是現代教學的重要思想；從過程與方法的目標上看，復習課不是知識的簡單“重復”，而是提高、拓展，要引導學生深入挖掘知識的內在聯系和進行系統整理；從情感態度價值觀的目標上看，在組織知識網絡的過程中，要引導學生感悟知識的應用情感。

“黃河清問題導學教學法”復習課教學模式，將教學過程分為四個環節：知識回顧—自主構建—應用探索—總結歸納。每個環節都明確了教學的核心要素，為教學的組織實施提供了一條明確清晰的思路和范式，有助于提高教學效益，促進學生能力的發展。以下就此作個簡要的闡述。

一、 知識回顧

“知識回顧”是一節復習課的基礎，其重點在于兩個方面：一是引導學生系統回顧所學知識；二是有針對性地對疑難問題進行分析、講解，強化學生對所學基礎知識的理解和對基本方法的掌握。這一環節要注重解決以下三個方面的問題：

一是問題設置。根據“問題導學教學法”的關聯性原則，問題的提出重在引導啟發學生進行“回顧”，可從知識的發展脈絡、重要概念的產生和發展過程、基本方法的來龍去脈等方面去設計，使問題具體化，形成有效鋪墊，讓學生有針對性地去思考、回憶。

二是能激發學生展開聯想、總結。通過問題引導，使學生積極開展自主疏理知識、自主尋找規律、自主剖析錯誤的學習活動，加深對所學內容的認識，初步對知識的框架做到有自己的思考。教師在這過程中要注重評價和指導，特別對于學生的疑惑要給予點撥，幫助學生對其思考的知識主線進行提煉、總結。

三是引導學生學會聯系、整合。通過對知識的回顧，逐步把相關的知識點建立起相互聯系，不斷地把知識小結構組合成中結構、大結構，最終組合成一個系統整體。

二、 自主構建

自主構建是一節復習課的重點。復習課對學生掌握基礎知識和基本方法的要求與新授課是有區別的。對基礎知識，復習課重在引導學生建立知識間的聯系，學會綜合運用；而對基本方法的要求是：要學會變化。通過變化，將方法的內涵、本質延伸、牽移，轉化為相關問題進行求解。因此，這一環節上的主要任務，就是要圍繞“聯系”、“變化”兩個關鍵詞來展開。

首先，問題的設置要重在促進學生將前后知識聯系起來，要抓住概念和基本方法這個切入點，通過問題引導學生將基本知識、方法串連起來，形成完整的認知結構。

其次，幫助學生構建“自己的”知識網絡。由于每個人的思維習慣是不一樣的，對問題的理解和看法也會有所不同，記憶的方式也各有特點，教師要注重換位思考，引導學生按照自己熟悉的學習和記憶方式去總結、構建，形成個性化的知識結構。

再次，就是引導學生對構建的知識網絡系統化和技能化。學生在嘗試構建的過程中，帶有很強的主觀性，也會存在一定的片面性，教師要注重引導學生進行分析、比較，形成更為合理、科學的知識體系。同時，引導學生思考別人的構建，把對自己有用的東西內化為自己的認識，使知識網絡更為充實。

三、 應用探索

應用探索是一節復習課的關鍵。知識是“死”的，而運用則是“活”的，學習的知識能否真正為己所用，通過解決實際問題就可以很好的檢驗。因此，要精選有針對性和典型性的例題、習題，引導學生探索，既強化學生知識的系統性，又注重糾正學生應用知識可能出現的問題和偏差。

這一環節的問題設置，重在加強問題的針對性。要注重以知識技能、知識間的縱橫聯系及思想方法等作為問題設置的主線，問題既要源于教材，又不拘泥于教材，注重基礎又要兼顧能力，使學生“跳一跳”就能夠摘得到。

同時，要注重抓好“鋪墊”。要思考學生探索過程中可能出現的問題和困難，適當搭建階梯，讓學生“想探索、能探索”，激活學生的思維。同時，要注重引導學生積極參與討論，敢于發表自己不同見解，力爭自己解決問題。即使沒有探索出結果，也要鼓勵學生在充分思考的基礎上再去聽老師講解，這樣才能加深對知識和方法的掌握和理解。

最后，要認真對學生的解題方法進行評價。學生經過艱苦探索發現的方法，其特點是什么，有何啟發性，運用到了哪些數學思想，或者為何探索受阻，問題的根源是什么等，教師要適時給予點評，幫助學生總結規律，這對學生形成解題的經驗、提高解題能力有重要影響，這樣促進學生學會舉一反三，觸類旁通。

四、 總結歸納

總結歸納是一節復習課的升華。怎樣優化知識結構、掌握解題方法、感悟數學思想、吸取探索得失、形成知識網絡，需要教師引導學生進行歸納、總結，幫助學生形成知識經驗。

這一環節要注重三個層面的問題：

一是要簡明扼要地歸納本節課教學的核心內容。它包括：重要知識點的內涵、外延，探索過程運用到的主要數學思想方法，本節課的“亮點”所在，學生存在的主要問題等，總結要精煉，畫龍點睛，易于理解、記憶和掌握。

二是總結歸納知識網絡。要引導學生分析本節課復習的知識與其他知識點的相互聯系，及其在教材中的地位和作用；本節課數學思想方法運用上的特點與研究范圍。這一環節還要注意將學生的個體歸納與全體歸納相結合，讓學生既有思維的獨立又有相互的借鑒，因為學生對自己總結歸納出來的結論往往很珍惜，容易牢記這些“成果”。

三是注重強化抽象、概括的過程。學生在自主歸納總結中往往帶有很強的局限性和不完整性，教師要及時引導和糾正，既要注意全班普遍性的薄弱環節，又要兼顧個別學生存在的問題，將完整的知識體系和數學思想方法呈現給學生，這對培養學生思維的全面性和深刻性有重要的作用。

案例： 降冪變換與添加輔助角（高三第二輪復習課）

一、 知識回顧

問題1：在第一輪復習中，我向同學們提出了復習基礎知識的基本要求，還記得它是什么嗎？

——“不僅求會，更要求聯（系）”。就是說，不僅要理解知識的內涵、外延等本質特征，更要思考數學知識、方法間的相互聯系，特別是它們在不同章節是怎樣應用的，重在抓住“聯系”這個核心要素。

問題2：在第二輪復習中，我們要樹立怎樣的復習觀念呢？

就是：對于基本方法——“不應求全，而要求變”。

因為，我們是不可能把所有數學方法都能做到熟練掌握的，但是，我們可以變，可以將一些方法的內涵、本質延伸、牽移，將相關問題轉化求解，做到舉一反三。

怎樣變化？本節課通過對兩種基本方法的復習與研究，學習如何將有關問題進行轉化求解。

二、 自主構建

基本問題研究：

問題3：請同學們觀察以下問題：

（1）將[a]sinx+b cosx化為一個角的三角函數形式；

（2）求y=cosx+sinx的最大最小值；

（3）求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大最小值。

你能發現這三個式子間的關系嗎？

評說：這三個問題，分別是課本例題、課本習題、高考題（多次出現，如2006年遼寧高考題），它們是密切相關的。在（1）中令[a]=b=1，得（2）；（2）中用2x代x，按二倍角展開，再添加常數2（1=sin2x+[cos2]x），化簡即為（3）。

可見，它們雖然形式不同，但從解題的本質上說都是一樣的：可化為一個角的三角函數求解。（1）、（2）形式比較明顯，困難就在于，怎樣把（3）化為（1）、（2）的形式？

解：y＝sin2x[+]2sinxcosx+3cos2x

[=1-cos2x2+sin2x+3#8901;1+cos2x2]

[=]2[+]sin2x[+]cos2x

[=2sin(2x+π4)+2] 。

所以函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值為[2+2]，最小值為[2-2]。

問題4：三個問題的解決中都用到了哪些重要的數學變換？

評說：

（1）降冪變換：sin2x[=1-cos2x2]，cos2x[=1+cos2x2] ；

（2）添加輔助角：[asinx+bcosx=]

[a2+b2sin(x+φ)]，其中[φ]由[tanφ=ba]確定。

這兩種變換是我們解決一類可化為 [y=][Asin(ωx+φ)+B] 問題的基本方法，也是我們這節課要熟練掌握的方法。

（我們經常強調要讓學生“回到”課本，怎樣“回”？教師要有具體的方法指導。這就需要教師加強研究，看看高考的要求是如何在課本的基礎上變化、提高的，研究這種“變”的依據是什么，它是如何拓展的，幫助學生深入理解課本知識的基礎性，做到正本清源，抓住根本。）

三、 應用探索

典例精析（2006年高考題）：

例1已知函數f（x）=2sin2x+2[3]sinx

cosx+1 ，

（1）寫出f（x）的單調遞增區間；

（2）若不等式f（x）-m≥0對一切x∈［0，[π2]］都成立，求實數m的最大值．

問題5：本題與上述范例有哪些聯系與區別？

共同點：所給式子都有二次項，都有兩項積sinxcosx，都是研究函數的性質（如定義域、值域、單調性、周期性等問題）。

不同點：將問題引申到不等式中，或者說一類不等式問題也可以轉化為研究三角函數的性質問題。

解：（1）∵f（x）=1-cos2x+[3]sin2x+1=2sin(2x-[π6])+2，

令[2kπ-π22x-π62kπ+π2#8201;(k∈Z)#8201;，#8201;]解得：[kπ-π6xkπ+π3#8201;(k∈Z)，]

∴ f（x）"的單調遞增區間是

"［[kπ-π6，#8201;kπ+π3]］[(k∈Z)]

（2）∵0≤x≤[π2]

∴[-π62x-π656π]

∴[-12sin#8201;(2x-π6)1]

∴1≤f（x）≤4，∴m≤1， 即m的最大值為1 。

問題6：從這道例題的解答中你能得到什么啟示？

評說：

（1）要研究三角函數性質，通過降冪變換、添加輔助角兩種基本方法轉化為[y=][Asin(ωx+φ)+B]，進而求解，這是解決此類類問題的通法；

（2）對一類恒成立問題，可化為求目標函數[f(x)]的最大（小）值來求解。學會比較，是實施轉化的前提，只有注重求同存異，才能引發聯想，做到舉一反三，觸類旁通。

（例題的一個重要功能就是它的啟發性。本題通過研究例題與引入問題的三個式子的聯系：形式上、方法上有何區別與聯系，讓學生抽象出本質的東西——數學的思想方法：降冪變換與添加輔助角。而在變化的過程中，相比前面觀察的三個式子在哪些方面有創新？這種總結、思考，怎樣以小見大，正是培養學生思維的深刻性的重要手段。）

例2：設函數[f(x)=a#8201;#8901;(b#8201;+c#8201;)]，其中[a#8201;=(sinx，-cosx)，#8201;#8201;][#8201;b#8201;=(sinx，-3cosx)]，[c#8201;=(-cosx，sinx)，#8201;#8201;#8201;x∈R.]（1）求函數[f(x)]的最大值與最小正周期。（2）將函數[y=f(x)]的圖象按向量[#8201;d#8201;]平移，使平移后得到的圖象關于坐標原點成中心對稱。求長度最小的[#8201;d#8201;]。

問題7：你覺得這道題的特點是什么？

本題有兩個突出的特點：一是它沒有直接給出含三角函數的等式，而是以向量為載體，通過轉化才能化為類似例1的形式；二是對于問題（2），無論是用代數方法解還是通過圖象法求解，怎樣選取向量[#8201;d#8201;]對一些同學都是認知上的難點，要認真把它弄清楚。

解：（1）由[f(x)=a#8201;(b#8201;+c#8201;)]

[=(sinx，-cosx)(sinx-cosx，sinx-3cosx)][=sin2x-2sinxcosx+3cos2x]

[=2+cos2x-sin2x=2sin(2x+34π)+2] 。

故[f(x)]的最大值為[2+2]，最小正周期為[π]。

（2）法一：由[sin(2x+34π)=0#8201;#8201;]

[得#8201;#8201;2x+34π=kπ]，即[x=kπ2-38π#8201;#8201;(k∈Z)]

于是[#8201;d#8201;][=(38π-k2π，#8201;#8201;-2)#8201;#8201;#8201;#8201;]

[|d|=(kπ2-3π8)2+4#8201;#8201;(k∈Z)] 。

要使[#8201;d#8201;]最小，則只有k=1此時[#8201;d#8201;][=(-π8，#8201;#8201;-2)]為所求。

法二：描點作圖，依題意，按向量[#8201;d#8201;]平移，使平移后得到的圖象關于坐標原點成中心對稱，這樣的向量有[#8201;d#8201;]無數個，而長度最小的[#8201;d#8201;]只有一個，就是向量[BO#8201;]，即[#8201;d#8201;][=(-π8，#8201;#8201;-2)]

小結：通過例題的解答我們可以看出，這類問題的共性就是要化為一個角的三角函數求解，而“萬變不離其中”，前提就是要掌握“降冪變換、添加輔助角”兩種基本方法，在此基礎上，問題可以拓展到與其他知識的聯系和整合上，衍生為綜合性的問題。

（學習是為了應用。例題中抽象出來的方法能否引申為一般的方法，對相關問題的解決有否指導意義？這都是教師要引導學生深入思考的。特別，對于以其他知識為載體的有關問題，能否利用化歸的思想轉化為三角函數問題來處理？怎樣應用？通過教師的引導，讓學生進行探尋、引申，對培養學生解決問題的意識和能力都是非常重要的。）

課堂練習：

已知[a=(3sinωx，1)]，[b=(cosωx，0)]，[ω>0]，又函數[f(x)=a#8901;][(a-kb)][(k>0)]是以[π2]為最小正周期的周期函數。

（1）求函數[f(x)]的值域；

（2）若函數[f(x)]的最大值為[52+3]，則是否存在正實數[t]，使得函數[f(x)]的圖象能由函數[g(x)=ta#8201;#8901;b]的圖象經過平移得到？若能，則求出實數[t]并寫出一個平移向量[m]；若不能，則說明理由。

教學思考：除了概念是否清楚外，學生可能遇到的最大問題就是運算不過關，求不出[f(x)]正確的函數表達式，（2）式得不到正確的目標函數，從而無法比較、判斷，導致解題的失誤。因此，要給學生詳細的示范板書演示。

解：（1）[∵f(x)=a2-ka#8901;b]

[=3sin2ωx+1-k#8901;3sinωxcosωx]

=[32(1-cos2ωx)+1-32ksin2ωx]

=[52-32(ksin2ωx+3cos2ωx)]

=[52-123k2+9sin(2ωx+φ)]。

[∴f(x)]的值域為：

［[52-123k2+9，52+123k2+9]］。

（2）[∵f(x)]的最小正周期為[π2]，[∴2π2ω=π2，∴ω=2].

又[f(x)]的最大值為[52+3]，[∴52+123k2+9=52+3]，解得[k=1]或[k=-1]（舍）.

[∴f(x)=52-32(sin4x+3cos4x)]

[=52-3sin(4x+π3)]

=[52+3sin(4x+4π3)]。

而[g(x)=ta#8901;b]

[=t(3sin2x，1)#8901;(cos2x，0)]

[=t#8901;3sin2xcos2x]=[32tsin4x]。

[∴]當[t=2]且[m=(-π3，52)]時，則[f(x)]的圖象可由[g(x)]的圖象按向量[m]平移得到.

四、 總結歸納

問題8：本節課我們復習了哪些知識？你有哪些收獲？

評說：

（1）要熟練掌握“降冪變換、添加輔助角”兩種基本方法，順利解決可化為一個角的三角函數的有關問題；

（2）注重三角函數與其他知識的交匯點和相互關系，樹立轉化的意識，透過現象看本質，將問題化歸到我們熟悉的問題情境中來求解。

作業：

1. 已知函數f(x)=sin2x+[3]sinxcosx+2cos2x ，[x∈R]

（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；

（2）函數f（x）的圖象可以由函數 y＝sin2x（[x∈R]）的圖象經過怎樣的變換得到？

2.已知三角形ABC的面積S滿足[3S3，#8201;#8201;且AB#8901;BC=6]，[AB與BC]的夾角為[θ]。

（1）求[θ]的取值范圍；

（2）求函數[f(θ)=sin2θ+][2sinθcosθ]

[+3cos2θ]的最小值。

“黃河清問題導學教學法”復習課教學模式，特別關注學生 “惑”的問題；同時，怎樣讓復習課上出新意，激發學生探索欲望的“亮點”，也成為教學的重要思考；三是復習課不是“簡單重復”，要注重設計高水平的思維訓練活動，保證課堂的思維量。

（責編黃珍平）

“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”