例說(shuō)合作課堂中的學(xué)生展示環(huán)節(jié)

【關(guān)鍵詞】合作課堂學(xué)生展示

【文獻(xiàn)編碼】 doi:10.3969/j.issn.0450-

9889（B）.2011.07.021

一、 教學(xué)內(nèi)容

人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下A）9.9球。

二、 教學(xué)目標(biāo)

1．通過球與棱錐的外接關(guān)系解決球或某些特殊棱錐的相關(guān)問題。

2．重視轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，提高空間想象能力及觀察、歸納能力。

3．養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度，增強(qiáng)積極探索的科研精神，提高合作意識(shí)。

三、 教學(xué)重點(diǎn)

正棱錐外接球球心的確定及半徑的求法。

四、 教學(xué)難點(diǎn)

棱錐外接球球心的確定。

五、 教具準(zhǔn)備

多媒體課件，8個(gè)三角板。

六、 課前準(zhǔn)備

學(xué)生分為8個(gè)組，每組6個(gè)人。提前兩天發(fā)導(dǎo)學(xué)案，課前幾分鐘分配任務(wù)：第一組板書例1，第三組點(diǎn)評(píng)，第六組補(bǔ)充并做本題小結(jié)；第四組板書例2，第七組點(diǎn)評(píng)；第二組板書例3，第五組點(diǎn)評(píng)；第八組做課堂小結(jié)。分配完畢，板書組到黑板板書解題過程。

【說(shuō)明：由于導(dǎo)學(xué)案提前兩天發(fā)給學(xué)生，大部分學(xué)生已基本完成導(dǎo)學(xué)案的學(xué)習(xí)。課前板書是為了節(jié)省時(shí)間；一個(gè)組板書，另一個(gè)組展示，是為了讓學(xué)生更認(rèn)真地了解其他組的解法，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短。】

七、 教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：上一節(jié)課我們研究了球與棱柱的外接問題，知道球心就是棱柱中截面多邊形的外心，球心與棱柱頂點(diǎn)的連線就是球的半徑，進(jìn)而可以解決球的其他問題。例如：

（多媒體展示）已知棱長(zhǎng)為2的正方體[ABCD-A1B1C1D1]的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，求[A，B]兩點(diǎn)的球面距離。

提問第五組，回答：[3arccos13]。

【說(shuō)明：此題是上一節(jié)課的內(nèi)容，且比較簡(jiǎn)單，所以讓學(xué)生直接回答。】

師：本節(jié)課我們?cè)诖嘶A(chǔ)上，研究球與棱錐的外接問題。

2.合作探究，精彩展示

（1）小組內(nèi)展示（3分鐘）

交流心得，統(tǒng)一答案，研究難題，明確分工。

（2）全班展示

師：好，時(shí)間到，下面由第三組對(duì)例1及兩個(gè)變式進(jìn)行展示。

例1．已知三棱錐[P-ABC]的四個(gè)頂點(diǎn)都在以[O]為球心的球面上， [PA]，[PB]，[PC]兩兩互相垂直，且[PA=PB=PC=2]。求[A，P]兩點(diǎn)的球面距離。

變式1：三條側(cè)棱兩兩互相垂直且棱長(zhǎng)分別為[1]，[2]，[6]的三棱錐的外接球的體積為。

第三組聶同學(xué)：下面由我代表我們組進(jìn)行展示。這道題是用了補(bǔ)形法，把三棱錐補(bǔ)成正方體，正方體對(duì)角線的交點(diǎn)就是球心，那么就可以求出半徑，進(jìn)而解決問題，結(jié)果為[3arccos13]。變式1也是利用這種方法補(bǔ)成長(zhǎng)方體，結(jié)果為[9π2]。大家聽明白了嗎？（掌聲）

變式2：已知[S，A，B，C]是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB= BC=，則球O的表面積等于（）

A．4[π]B.3[π]C.2[π]D. [π]

第三組韋同學(xué)：變式2也是用了補(bǔ)形法補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線SC就是外接球的直徑，所以可求得結(jié)果為[4π]。我們還有第二種解法——（用實(shí)物投影）因?yàn)閇∠ABC]是直角，所以AC就是過A，B，C的截面圓的直徑，中點(diǎn)就是圓心，過圓心作平面ABC的垂線，球心在垂線上，即與SC的交點(diǎn)，設(shè)為O，可以證明O到4個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以問題得到解決。（掌聲）

第三組農(nóng)同學(xué)：我的解法跟前面差不多，只是更簡(jiǎn)單一點(diǎn)。取SC的中點(diǎn)O，可以證明[ΔSAC]是直角三角形，[OA=12SC]，同理可以證明[OB=12SC]，所以O(shè)是外接球的球心，這道題也就解決了。大家明白了嗎？（掌聲）

師：目標(biāo)都是找出球心和半徑。這幾種方法你們更喜歡哪種呢？

全班同學(xué)：補(bǔ)形法。

師：不錯(cuò)，補(bǔ)形更為簡(jiǎn)單、形象。（多媒體動(dòng)態(tài)演示補(bǔ)形過程）

師：還有哪位同學(xué)有不同的想法？

第六組陸同學(xué)：（實(shí)物投影）我們是通過補(bǔ)形來(lái)構(gòu)造直三棱柱，我們知道直棱柱外接球的球心O就是上下底面中心連線的中點(diǎn)，可以通過正弦定理求出底面外接圓的半徑，連結(jié)AO，利用勾股定理求出外接球的半徑，也可以解決問題。（掌聲）

師：對(duì)于這道題你們還有什么疑問嗎？

第四組的石同學(xué)：O1，O2不應(yīng)該叫底面的中心，應(yīng)叫外心。因?yàn)榈酌媸侵苯侨切危沁@樣吧？

全班同學(xué)：是。（掌聲）

師：確實(shí)做了一個(gè)很好的補(bǔ)充。不過反觀第六組的思路，他們其實(shí)是提供了一個(gè)解決一般化問題的解法，也就是底面是任意三角形，都可以用這種方法解決。補(bǔ)形往往能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。還有其他解法嗎？（沉默）

師：好，下一個(gè)組展示例2。

例2．一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為[2]，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）

A. [3π]B.[4π]C.[33π]D.[6π]

第七組農(nóng)同學(xué)：（走到黑板前）下面由我們第七組展示。題目要求球的表面積，也就是要求出球的半徑。設(shè)四面體ABCD，過D作DO1垂直于面ABC，O1是正三角形ABC的中心，設(shè)球心O在高DO1上，球半徑為R，連結(jié)OB，[OB=OD=R]，在[RtΔOBO1]中，利用勾股定理可以求出球半徑，進(jìn)而解決問題。解決這類問題的通法就是找出球心，根據(jù)勾股定理求出球半徑。還有什么疑問嗎？

第五組李同學(xué)：我們有點(diǎn)疑問，你怎么確定球心一定在高所在的直線上？

農(nóng)同學(xué)：因?yàn)檫@是一個(gè)正棱錐，O1是正三角形ABC的中心，也就是截面圓的圓心，所以O(shè)O1垂直平面ABC，又因?yàn)镈O1也垂直于平面ABC，過O1有且只有一條直線垂直平面ABC，所以O(shè)在DO1所在直線上。大家還有什么疑問嗎？（掌聲）

第三組農(nóng)同學(xué)：（走到黑板前）我們還有另一種解法，就是確定球心的方式不同。過D作DH垂直平面ABC于H，過C作[CH′]垂直平面ABD，DH與[CH′]交于點(diǎn)O，O就是正四面體的中心。

第一組陸同學(xué)：你怎么知道點(diǎn)O是正四面體的中心呢？

農(nóng)同學(xué)：這是一個(gè)中心對(duì)稱的幾何體，DH，[CH′]都是它的高，高的交點(diǎn)應(yīng)該是正四面體的中心，也就是外接球的球心。連結(jié)AH并延長(zhǎng)交BC于E，則AH可求，連結(jié)AO，則AO=DO=R，先求出DH，用勾股定理可求出R。大家明白了嗎？（掌聲）

師：兩種方法有類似的地方，都是作高，找球心，從而算半徑。（多媒體演示老師的解題過程）

師：還有沒有其他方法可以解決？

第六組陸同學(xué):：我們組有一種解法。（實(shí)物投影）取AB的中點(diǎn)E，作[AO1]垂直于面BCD，[O1]為三角形BCD的中心，過E作AB的中垂線與[AO1]交于點(diǎn)O，則OA=OB，同理，也等于OC，等于OD，即O為球心。在[ΔABO1]中，[cos∠BAO=AEAO=AO1AB]，從中可求出AO，也就是半徑。大家聽明白了嗎？（掌聲）

師：好，還是求半徑。還有嗎？

第七組易同學(xué)：（黑板展示）我們組還有一種解法，這種解法只是專門針對(duì)這道題的。因?yàn)檫@是一個(gè)正四面體，每個(gè)面的面積都相等，球心到每個(gè)面的距離也相等，且球心與頂點(diǎn)的連線就是外接球的半徑。這樣我們就可以把正四面體分割成4個(gè)完全相等的三棱錐，利用體積的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)[OH∶DH=1∶4]，所以[DO=34DH]，這樣求出DH，就可以求出半徑。對(duì)于一般的三棱錐，則不能用這種方法。大家還有什么疑問嗎？（掌聲）

師：這是用了切割的方法求球的半徑，但是能力要求更高了。回顧例1和它的變式，都可以補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體，這里是一個(gè)正四面體，會(huì)不會(huì)也是正方體的一部分？現(xiàn)在用一分鐘的時(shí)間組內(nèi)交流一下。

師：哪個(gè)組想到了？

第四組的周同學(xué)：我們組想到了一種方法，正四面體是由正方體各個(gè)面的對(duì)角線組成。（教師用多媒體動(dòng)畫演示）

師：正四面體也可以補(bǔ)形，所以……

全體同學(xué)：球心就是正方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，體對(duì)角線就是直徑，只要求出正方體的棱長(zhǎng)即可。

師：很好，補(bǔ)形確實(shí)能把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，現(xiàn)在下一個(gè)組繼續(xù)展示例3。

例3．正四棱錐[S-ABCD]的底面邊長(zhǎng)為[6]，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)S，A，B，C，D都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為．

第五組黃同學(xué)：（走到黑板前）這是一個(gè)正四棱錐，過S作[SO1]垂直于面ABCD，則[O1]是正方形ABCD的中心，設(shè)球心O在高[SO1]所在的直線上，球半徑為R，連結(jié)OA，由于球心O是在高[SO1]的延長(zhǎng)線上，所以 [OO1=R-SO1] 。在[Rt△AO1O]中利用勾股定理可以求出球半徑[R]，就可以求出外接球的體積了。大家還有什么疑問嗎？

第六組黃同學(xué)：那怎么判斷球心是在高上還是在高的延長(zhǎng)線上呢？

第五組黃同學(xué)：因?yàn)榍蛐腛到正四棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，所以如果高[SO1]求出來(lái)，[SO1=AO1]，則[O1]就是球心；若[SO1>AO1]，球心在高[SO1]上；若[SO1

第五組農(nóng)同學(xué)：（實(shí)物投影）因?yàn)榍蛐腛在高[SO1]所在的直線上，所以過S，A，C的截面是它外接球的一個(gè)大圓，只要求出[△SAC]外接圓的半徑就是球的半徑，進(jìn)而求出外接球的體積。大家聽明白了嗎？

第八組雷同學(xué)：你怎么知道過S，A，C的截面是外接球的一個(gè)大圓？

農(nóng)同學(xué)：球心O在[SO1]所在的直線上，而[SO1]是[△SAC]的一條高，所以[SO1]在平面SAC內(nèi)，則球心O也在平面SAC內(nèi)，平面SAC截球得了一個(gè)截面圓，而它過了球心，所以是一個(gè)大圓。大家聽明白了嗎？（掌聲）

師：（多媒體動(dòng)態(tài)演示作截面圓過程）這里是過正四棱錐的對(duì)棱作截面得了一個(gè)大圓，再通過正弦定理求出[ΔSAC]外接圓的半徑即球的半徑，這確實(shí)是一種好方法。

（3）課堂小結(jié)

師：好了，這節(jié)課學(xué)到這里，你們學(xué)到了什么？解決棱錐的外接球問題有哪些方法？哪些題型適用哪種方法？下面進(jìn)行課堂小結(jié)。

第八組陸同學(xué)：我們來(lái)總結(jié)一下，這節(jié)課我們主要研究棱錐的外接球問題，知道解決這類問題的關(guān)鍵是要確定外接球的球心，計(jì)算出球的半徑。解決的方法有補(bǔ)形法，如果棱錐中有兩兩垂直的棱，往往用這種方法，補(bǔ)成一個(gè)正方體或長(zhǎng)方體；還有作高，設(shè)球心在高線上，用勾股定理求出球半徑；還有作截面。（掌聲）

師：那什么樣的題型適合作高呢？正四面體適合，正四棱錐適合……

全班同學(xué)：正棱錐。（多媒體顯示課堂小結(jié)）

師：很好，對(duì)于正四棱錐，還可以過對(duì)棱作截面來(lái)求球的半徑。而補(bǔ)形法就是把棱錐的外接球問題轉(zhuǎn)化為棱柱的外接球問題，這就是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，在解題中要注意應(yīng)用，用熟悉的目光去看待陌生的事物，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題來(lái)解決。我們還要重視用多種方法解題，用陌生的目光去看待熟悉的事物，多研究多發(fā)現(xiàn)。

八、 課后反思

1．通過組內(nèi)展示、全班展示，學(xué)生的主觀能動(dòng)性得到充分的發(fā)揮，他們積極思考、探究、討論、質(zhì)疑，使整節(jié)課充滿生機(jī)與活力。只要給他們平臺(tái)，學(xué)生都愿意并且能夠做學(xué)習(xí)的主人，展示自我。

2．合作課堂，教師在課堂上的價(jià)值體現(xiàn)在引導(dǎo)與點(diǎn)評(píng)上。我們必須用恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言引導(dǎo)學(xué)生思考、質(zhì)疑、展示，使整節(jié)課的各環(huán)節(jié)緊密地串聯(lián)成一個(gè)有機(jī)的整體；必須用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)練的語(yǔ)言進(jìn)行點(diǎn)評(píng)、總結(jié)，把學(xué)生不太成熟的展示語(yǔ)言專業(yè)化、簡(jiǎn)約化，使學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確地掌握知識(shí)。

（責(zé)編王學(xué)軍）

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