隨機供貨下銷售商最優(yōu)訂購決策

摘 要：在實際生產(chǎn)生活中，存在著由于產(chǎn)品本身生產(chǎn)的隨機性和一些外部因素導(dǎo)致生產(chǎn)商供貨不確定的問題，本文研究了在此的背景下，單周期供貨不確定情況下銷售商的最優(yōu)訂購決策。理論上分析了最終到貨量為訂購量與擾動變量加和情況下，銷售商存在最優(yōu)訂購量，按照新的策略訂購可以使銷售商利潤最大化，并最大可能的消除由于訂貨不足或者訂貨過量所帶來的負(fù)面效應(yīng)。

關(guān)鍵詞：隨機供貨 訂購決策 報童模型 隨機需求

The Retailer’s Optimal Ordering Strategic Decision under the situation of Random Supply

Cheng Lei Wang Daoping Li Feng

(School of Economics and Management， University of Science and Technology Beijing，

Beijng， 100083)

Abstract：In the actual production and life， there is the randomness of the production of the product itself and some external factors that led to the problem of uncertainty supply of manufacturers. In this article， analyze the optimal order strategy of vendors under a single-cycle supply uncertainty. A general analytic solution for two type of risks ——multiplicative and addictive is described. We also derive the optimal order qualities under any situations. The order strategy is different from the classics newsvendors’ problem. According to the new strategy retailers can maximize profits and eliminate the negative effect from underage or overage ordering.

Keywords：random supply， order strategy， newsvendors model， stochastic demand

*本文受到國家自然科學(xué)基金（編號70872010）和北京市哲學(xué)社會科學(xué)“十一五”規(guī)劃項目（07BfJG185）的資助。

1引言

實際經(jīng)濟生活中存在著大量存在著此類現(xiàn)象，造成這種情況的原因主要有：（1）產(chǎn)品本身產(chǎn)出是隨機的。如生鮮農(nóng)產(chǎn)品的生產(chǎn)，一些化工類產(chǎn)品和電子類產(chǎn)品都會存在隨機產(chǎn)出的問題，產(chǎn)出的隨機性造成了供貨的隨機性，尤其是農(nóng)產(chǎn)品的生產(chǎn)，受天氣等因素的影響很大，造成其產(chǎn)量的極大波動；（2）產(chǎn)品在運輸途中的損失或者發(fā)貨錯誤，產(chǎn)品在運輸途中出現(xiàn)破損或被偷盜等等情況，都會導(dǎo)致供貨的不確定。

關(guān)于供貨隨機的研究國外國內(nèi)都比較少見，Karlin（1958）[1]最早進(jìn)行了隨機產(chǎn)出和隨機需求的研究，Karlin簡單的論證了若持貨成本和缺貨成本為他們各自參數(shù)的凸函數(shù)時，除非有一定的存貨，那么最優(yōu)的策略就是訂貨量為0；Shih（1980）[2]在不合格率為常數(shù)且持有和缺貨成本為線性時證明存在最優(yōu)訂貨量；Yano和Lee（1995）[3]研究了面對隨機需求和隨機環(huán)境下批量生產(chǎn)計劃的制定和庫存的控制問題。Noori和Keller（1986）[4]研究了單周期生產(chǎn)和需求隨機的庫存問題，進(jìn)一步研究了產(chǎn)出服從均勻分布且需求服從指數(shù)分布的庫存問題。Ehrhardt 和Taube（1987）[5]總結(jié)了Shi

的模型并進(jìn)一步擴展，將缺貨成本擴展為一般式。Gerchak（1988）[6]考慮了具有初始庫存的隨機產(chǎn)出問題，他證明了在凈產(chǎn)出與計劃產(chǎn)出成比例時，存在最優(yōu)的計劃產(chǎn)量和最優(yōu)的初始庫存。Inderfurth（2004）[7]從費用最小化的角度研究了隨機產(chǎn)出和需求的單周期生產(chǎn)和庫存問題。Keren（2009）[8]分析了隨機產(chǎn)出但需求固定的單周期庫存問題，并將之?dāng)U展到供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)研究上。國內(nèi)關(guān)于隨機產(chǎn)出的問題研究相對較少如文曉巍（2009）[9]等在常數(shù)型、線形型和指數(shù)型三種隨機生產(chǎn)狀態(tài)下易變質(zhì)品的生產(chǎn)特性，得到了EOP模型的總成本函數(shù)，并進(jìn)行了求解。趙霞（2009）[10]等從供應(yīng)鏈的角度研究了在產(chǎn)出和需求擾動服從均勻分布的情形下，單個生產(chǎn)商和零售商的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題。吳鵬等（2008）[11]研究了回收再制造企業(yè)在回收數(shù)量不確定的情況下的企業(yè)生產(chǎn)決策問題。

本文完成的主要工作是：（1）以上大部分文獻(xiàn)研究均是以成本最小作為建立模型的目標(biāo)，而實際上一個理性的經(jīng)濟人通常會以最大化利潤作為經(jīng)濟活動的目標(biāo)，為了更貼合實際，本文從利潤最大化的角度研究了銷售商面對供貨不確定的情況的單周期最優(yōu)訂貨量。并考慮商品在銷售期末進(jìn)行打折銷售所得收益和產(chǎn)品缺貨時會給銷售商帶來潛在的期望收入的損失，包括信譽等的損失，在此條件假設(shè)下構(gòu)建了新的數(shù)學(xué)模型；（2）在最終到貨為訂購量和擾動變量加和情形下討論了最優(yōu)訂貨量；（3）分析了最優(yōu)訂貨量與定價、殘值以及缺貨損失之間的變化關(guān)系，得出本文的訂購決策能夠最大可能的避免訂貨商遭受過量訂貨或者訂貨不足的風(fēng)險。

本文研究結(jié)果表明，在最終獲得量不確定的情況下，當(dāng)擾動變量和市場需求服從均勻分布時均存在最有訂購量使得企業(yè)利潤最大化，并且隨著定價提高，殘值提高以及缺貨損失提高均會導(dǎo)致最優(yōu)訂貨量的提高，這與實際情況是相符的。采用本文的訂購策略會最大可能的降低缺貨或者訂貨過量帶來的損失。本文的研究結(jié)果可以用于以下方面：（1）對于零售商來說，對于隨機需求和隨機產(chǎn)品來源的情況該模型可作為零售商訂貨的決策模型；（2）對于生產(chǎn)商來說，對于隨機需求和隨機產(chǎn)出該模型可作為生產(chǎn)商的生產(chǎn)投入決策模型。

2基本的報童模型

2.1 模型參數(shù)及假設(shè)

：單位產(chǎn)品價格

：市場需求，為隨機變量， 為隨機變量 的期望

：單位產(chǎn)品的訂購成本

：一個銷售季節(jié)即將結(jié)束時，剩余產(chǎn)品的殘值，一般情況下

：缺貨成本，包括缺貨所造成期望收入損失及信譽的損失等

：計劃訂購數(shù)量，最終獲得數(shù)量由于隨機性會與事先制定的預(yù)定的數(shù)量有所不同，為決策變量

：最優(yōu)計劃訂購量量

：產(chǎn)出隨機因子，代表生產(chǎn)的隨機性， 為隨機變量 的期望

：最終收貨為訂貨量與隨機擾動 的加和

：連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)，

：連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)，

2.2基本模型及求解

基本模型不考慮產(chǎn)出的隨機性，假定訂購量為 ， 不是隨機變量，則決策單位收益為：

Cachon證明其存在最優(yōu)值，且最優(yōu)值為 。

3最終產(chǎn)量為加法型隨機供貨下銷售商訂購策略

模型中假定最終獲得量為計劃產(chǎn) 與隨機擾動變量 的和，即最終的產(chǎn)出量為（ ），則在此情況下，銷售商收益為：

命題1 當(dāng) 時，使得收益期望最大的訂購量為 。

證明：對收益期望函數(shù)求一階導(dǎo) ，根據(jù)假設(shè)易知一階導(dǎo)小于0，因而原函數(shù)為減函數(shù)，即越增大產(chǎn)量，則凈收益越少。根據(jù)實際情形解釋：這種情況的假設(shè)前提來看，需求服從 上的均勻分布，也就是說需求最大到達(dá) ，不會超出 ，對于假設(shè)的前提 ，函數(shù)取得最大值時，應(yīng)為 取最小值，即當(dāng) 時，期望收益最大，因而在此情況下，銷售商的最優(yōu)訂貨量為 。

從而，期望收益函數(shù)為上凸函數(shù)，存在極大值點，令一階導(dǎo)數(shù)為零，可得到對應(yīng)極大收益值的最優(yōu)訂購量 。

定理1 當(dāng)訂貨商最終獲得量受隨機因子的影響呈加法型，且需求，則存在最優(yōu)訂購量。

證明：根據(jù)命題3、命題4和命題5，在不同情況下，均存在最優(yōu)訂購量，因而總體來說在訂貨商最終獲得量受隨機因素擾動呈加法型條件下，訂貨商存在最優(yōu)訂貨量。

3.2 參數(shù)分析

以下研究參數(shù)變化對最優(yōu)訂購量以及最大期望收益的影響。

關(guān)于參數(shù)與 之間的關(guān)系，有以下幾點結(jié)論：

（1）當(dāng)定價 、殘值 和缺貨損失 的增大時，相應(yīng)增大。在實際情況中，當(dāng)價格升高，殘值增大，缺貨懲罰增大時，銷售商顯然會提高訂購量以增加利益，降低懲罰風(fēng)險，因而所求結(jié)果與實際情況相符。（2）當(dāng)隨機變量 的均值增大時， 相應(yīng)增大。實際情況中， 的均值增大相當(dāng)于需求增大，則銷售商會增大訂購量來滿足需求。

4結(jié)語

綜上所述可以得到以下幾點結(jié)論：1當(dāng)處于不確定供貨和隨機需求的環(huán)境下，且擾動隨機變量 、需求 時，對于銷售商而言，總存在著能夠使利潤最大的最優(yōu)訂購數(shù)量；2從各種情況結(jié)果可以得出，隨著定價 、殘值 和缺貨損失 的提高，都會使相應(yīng)增大。當(dāng)銷售商遭遇價格升高，殘值增大，缺貨懲罰增大時，都會提高訂購量以增加利益，降低懲罰風(fēng)險，因而所求結(jié)果與實際情況相符，進(jìn)一步驗證了結(jié)果的正確性；

3傳統(tǒng)報童模型最優(yōu)訂購量為 ，為了方便對比，求出其需求服從均勻分布下的解析式。當(dāng) 時，傳統(tǒng)報童模型最優(yōu)訂購量為 ，顯然與考慮了供貨不確定的結(jié)果具有一定的差異。因而對于銷售商來說，考慮了供貨不確定的因素，準(zhǔn)確的估計訂購量能夠使得期望利潤最大并降低未來遭遇到的風(fēng)險。

參考文獻(xiàn)：

[1] Karlin S. One stage inventory models with uncertainty. Studies in the mathematical theory of inventory and production. Stanford University Press; 1958.

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[4] Noori AH， Keller G. One-period order quantity strategy with uncertain match between the amount received and quantity requisitioned. INFOR，1986， 24(1): 1-11

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[6] Gerchak Y， Vickson RG， Parlar M. Periodic review production models with variable yield and uncertain demand. IIE Transactions， 1988，20:144-150

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[8] Keren B. The single-period inventory problem: Extension to random yield from the perspective of the supply chain. Omega， 2009， 37:801-810

[9] 文曉巍，張光輝. 隨機生產(chǎn)狀態(tài)下易變質(zhì)產(chǎn)品的EPQ模型. 中國管理科學(xué)[J]，2009，17:378-382

[10] 趙霞，吳方衛(wèi). 隨機產(chǎn)出與需求下農(nóng)產(chǎn)品供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的收益共享合同研究. 中國管理科學(xué)[J]，2009，17(5):88-95

[11] 吳鵬，陳劍. 考慮回收數(shù)量不確定性的生產(chǎn)決策優(yōu)化. 系統(tǒng)工程學(xué)報[J]， 2008，23(6): 645-649

[12] Cachon GP. Supply chain coordination with contracts. Handbook in operations research and management science， volume 11. Amsterdam: Elsevier BV， 2003

作者簡介：

程蕾（1980-）女，山西人。北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院博士生。研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理。

王道平（1964-），男，北京人，北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：管理信息系統(tǒng)，物流與供應(yīng)鏈管理。

李鋒（1979-），女，湖南人。北京科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院博士生。研究方向：物流與供應(yīng)鏈管理。