基于生活經驗 探索發現概念的本質意義

雖然沒有現場聆聽、欣賞許衛兵老師執教的《認識小數》一課，但通過后來仔細揣摩課堂實錄、課后反思以及電話溝通，進一步了解和理解了許衛兵老師研究該課的意圖：如何以學生已有的生活經驗為基礎，真正通過“慢鏡頭”讓學生探究、頓悟、發現“小數”的內涵與意義。

《詩經》上說“如切如磋、如琢如磨”，這是研究課堂教學的一種境界。在研討交流中，我深深為許衛兵老師的深入思考（對教材的深入分析、對相關材料的閱讀、教學想突破的“問題”）所折服，真的是“小數不小，小數的世界很大”。對于一線教師與教學研究者來說，小數的世界之“大”，就“大”在讓我們深入地追問與思考一些問題。

“小數初步認識”到底“教什么”？

課程改革后，不同版本教材都是“螺旋上升”式地處理“小數的認識”，各教材的整體設計不盡相同，但在第一次“認識小數”時都把握了共同的原則：（1）基于學生的生活經驗學習小數，在具體的“量”中理解小數的現實意義，這里“具體的‘量’”主要指錢數、長度；（2）都是“規定”小數是十進分數的另一種表示方法；（3）溝通用“整數、分數、小數”都能表示同一個“量”，北師大版主要是溝通用“整數、小數”表示同一個量；（4）都涉及到純小數和混小數的認識。下面以人教版、北師大版、蘇教版為例，簡要概述“小數的初步認識”的內容安排。

人教版在《小數初步認識》中要學習一位、二位小數，是從“生活中的小數（價錢）”引入，理解用小數表示的價錢是什么意思，通過呈現小數在生活中的應用場景讓學生感受到小數是一個生活中常見的“數”，進而以“米制系統”為直觀模型認識一位小數就是十分之幾的分數、二位小數就是百分之幾的分數，認識小數數位上的數字的“分數意義”以及“現實意義”。在此基礎上，在“做一做”的活動中，再用整數、分數、小數表示“錢數”，進一步讓學生認識到“同一個量，既可以用自然數表示，也可以用小數、分數表示”。其難點是當兩位小數中十分位、百分位是“0”時如何用小數表示現實的量。

北師大版也是學習一位、二位小數，一直以“人民幣”為直觀模型學習小數（包括小數的加減運算），借助于小數位上各數字的“人民幣”意義學習，不涉及“分數”（教材中《小數的初步認識》在前，《分數的初步認識》在后）。

蘇教版則只學習一位小數，“米制系統”、“人民幣”兩個直觀模型都用，首先借助“米制系統”模型呈現一位小數就是“分母是10的分數”的另一種記法，然后再用“人民幣”認識混小數，認識“混小數”能突破學生總認為“小數是比‘1’小的數”的錯誤思維定勢。只有蘇教版教材在《小數初步認識》就提出“整數部分”、“小數部分”的概念，認識小數點左邊的數是小數的整數部分，小數點右邊的數是小數的小數部分。

在認識小數的“學具”方面，人教版、蘇教版還使用了“長（正）方形”的面積模型、線段圖模型以及“數軸”（習題中），而北師大版則不涉及這些直觀“模型”，主要借助人民幣認識小數。

小數的含義是“規定的”還是“發現”的？

弄清楚了“教什么”，接下來就是“怎么教”的問題：學生如何理解一個概念？教學如何“教”概念？杜威“由生活經驗向科學概念的運動過程就是教學”這一重要的教學思想，在學科課堂教學中如何落實？是“告知”學生概念的意義還是讓學生探索、概括發現概念的意義？尤其教學“認識小數”時這兩種教學方式容易引發爭議。

幾乎所有版本的教材都是這樣處理小數的意義的：5/10米還可以寫成0.5米。即小數是十進分數的另一種表達形式，一位小數就是十分之幾，兩位小數就是百分之幾，依此類推。

很多教師認識，小數的意義是“規定”的，教學時就是告訴學生這個規定而無需學生探究。但許衛兵老師執教的《認識小數》則走了另外一條路：在學生對用小數表示“錢數”已有生活經驗、知道其現實意義的基礎上，借助于分數的面積模型，讓學生在“折一折”、“畫一畫”的活動中探究發現并概括出“零點幾就是十分之幾”、“零點幾的意義和十分之幾的意義相同”的結論。即學生頭腦中先有“小數”，然后通過探究發現“一位小數實際上就是分母是10的分數”，讓學生有一種“頓悟”、有一種發現了隱藏的秘密的快樂。進而再將這一發現拓展應用到“米制”模型，以鞏固對一位小數的認識和理解。

這樣做符合執教者的主旨：確立真正的兒童立場，讓學生的生活經驗真正在概念學習中發揮作用，進而實現概念學習的“案例——原則——模仿——運用”的探究發現式過程。因此許老師說：從學生生活經驗的角度看，將“價錢之間的轉化”作為例題素材、“長度之間的轉化”作為習題素材更為合適，因為學生缺乏足夠的“小數表示的長度”這一經驗基礎，“5/10米還可以寫成0.5米”這一直接表明分數、小數之間關聯的結論，教師除了采用講解的方式直接“告訴”學生，別無他法。

但是，可能有教師會追問：是學生獨立探究發現“零點幾就是十分之幾”還是規定“十分之幾就是零點幾”？即小數的意義到底是“規定的”還是“發現”的？

這個問題要從兩個方面來看。首先，從小數的產生發展史看，先有分數后有小數，小數的意義是“人為”規定的。16世紀荷蘭的數學家、物理學家，同時也是一位軍人的斯蒂文最早發明小數，當時是為了便于計算復雜的利息問題。斯蒂文發現，當利率都是以10、100、1000等作為分母時，按照復利計算的利息問題將變得簡單，其結果都是以分母是10、100、1000等的分數表示。但還是不太便于比較大小和計算，于是他發現用“小數”（當時的小數書寫形式不是現在的樣子，沒有小數點）表示非常方便，于是創造出“十進小數”，進行小數的四則計算非常簡單，類似于自然數的四則計算。從其發生的本源來看，小數是基于十進分數而創造出來的，是“原創的”。實際上，人為的“約定”、“規定”就是人的一種創造，是一種新的頓悟與發現。

其次，從學生學習的角度看，通過個別案例的探索，發現（對于學生而言是教師引領下的“真正發現”）小數的含義是學生的“再創造”過程。讓學生經歷這個“再創造”過程遠比告知學生“十分之幾就可以記作零點幾”更有價值，也就是許老師執教本節課的目的所在。

那么這樣做的價值何在？價值就在于讓學生體驗發現秘密的快樂。荷蘭著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》中說：“要知道，泄露一個可以由學生自主發現的秘密，那是‘壞’的教學法，甚至是罪惡。”這符合他一貫倡導的數學學習觀：數學學習就是“再創造”的過程。許老師執教的“認識小數”就落實了這一數學觀，讓學生經歷“再創造”與發現的過程，體驗到獨立發現秘密的樂趣，這才是學生可持續學習能力培養的深層動力。

用可視化的“形”認識抽象的“數”的意義何在？

用可視化的“形”認識抽象的“數”的意義，即如許老師所強調的：有了與現實生活、與兒童經驗的對接，學生對小數的認識也就得以通過“慢鏡頭”來完成。教學不應停留在教師直接的講解和“告訴”，而應讓學生充分展開探索過程，借助于直觀圖示的形象支撐，建立起了一位小數的“直觀模型”（長方形等分、涂色）。然后將一位小數（純小數、混小數）的認識拓展到“米制系統”，進而再在半抽象半形象的“數軸”上認識小數（從“米尺”到“數軸”的抽象過程非常巧妙）。

從借助“面積模型”、“線段圖模型”到“數軸”來認識小數，所用的工具從直觀形象到半抽象半形象，符合學生的認知特點，有助于學生數學學習過程的順利展開與實施。其實更為重要的是，恰當地運用這些直觀模型為學生理解和運用“數形結合”思想積累了數學活動經驗，使學生逐步學會“用形象來滋養抽象，用直覺來涵養思維”，這是幫助學生清晰地掌握數學知識的重要“法寶”。數學活動經驗的積累與豐富不能夠依賴教師的“告知”與重復性的“練習”，需要學生的親自探究與體驗，借助于多種模型和途徑（可以說，這三種直觀模型貫穿于小學數學教學的始終）充分地展開探究過程，學生的體驗與感受就越強烈，理解就越深刻，數學活動經驗就越豐富和靈活。

“告知”式的教學可能“省時”、“省力”，但這是短期效果；“慢鏡頭”教學從短期看“費事”、“費時”、“費力”，但其長期效果不容忽視：有助于教師深入解讀教學內容，研究學生的數學學習條件與路徑，設計有價值的數學活動；有助于提升教師的執教能力；有助于學生經歷探究發現過程，積累數學活動經驗，感受體驗探究發現的樂趣，真正落實“三維教學目標”的整合。

“慢鏡頭”的教學需要教師有耐心，有專業功底與專業情懷。不要忘記：“要有耐心，這是教師的最大美德。”

（劉加霞，北京教育學院教師教育人文學院副院長，教授，100120）