試論數(shù)學(xué)模型法與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合與應(yīng)用

　　摘要：在教學(xué)中，將數(shù)學(xué)模型法與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，為學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)提供條件性知識，會使學(xué)生學(xué)會利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的意識。
　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型法；數(shù)學(xué)教學(xué)；結(jié)合與應(yīng)用
　　
　　數(shù)學(xué)是人們認(rèn)識世界和改造世界的一種基本手段和方法。它作為一種思想、一種語言、一種思維、一種策略，不應(yīng)只限于“一張紙一支筆”式的推理論證，而是應(yīng)與實踐相結(jié)合，從實踐中獲得感性認(rèn)識。所謂數(shù)學(xué)模型法，是指把所考察的實際問題，化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究，使實際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法。
　　一、數(shù)學(xué)模型法的歷史溯源
　　在中國古代，公元1世紀(jì)成書的《九章算術(shù)》為當(dāng)時社會生活各個領(lǐng)域利用數(shù)學(xué)提供了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。例如其中的“粟米”章提供了糧食互換及其他貿(mào)易用的數(shù)學(xué)模型，“勾股”章提供了一種可用于多種領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型－直角三角形，“方程章”則提供了“線性方程組”。
　　近代的伽里略是在實際的科學(xué)研究中開創(chuàng)數(shù)學(xué)方法與實際結(jié)合的第一人，從而開啟了數(shù)學(xué)模型法在近代科學(xué)中應(yīng)用的先河；牛頓建立的經(jīng)典力學(xué)體系也正是用數(shù)學(xué)模型表述的（即微積分學(xué)）。因此運用數(shù)學(xué)模型法時可以利用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)內(nèi)容作為模型；如果沒有，就要建立新的數(shù)學(xué)模型，而為此往往需要創(chuàng)建新的數(shù)學(xué)理論，因而運用數(shù)學(xué)模型法也促進(jìn)著數(shù)學(xué)的發(fā)展。這樣，人們不僅由實際問題中提煉出數(shù)學(xué)模型并運用數(shù)學(xué)模型解決原有的問題，也開始對數(shù)學(xué)模型作了深入的研究，并且利用研究的結(jié)果發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中的新事物，或者創(chuàng)造出符合模型提供的規(guī)律的新型實物。
　　這樣，數(shù)學(xué)模型就成為各門科學(xué)中極其重要的方法，通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，使得利用構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決實際問題的方法廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)工程技術(shù)，甚至于社會科學(xué)的一切領(lǐng)域中，并且它通過各門科學(xué)與現(xiàn)實世界聯(lián)系起來了。
　　二、數(shù)學(xué)模型法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義與運用
　　1.數(shù)學(xué)模型法對數(shù)學(xué)教學(xué)的意義
　　為適應(yīng)現(xiàn)代社會的發(fā)展，立足于數(shù)學(xué)應(yīng)用教育，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們應(yīng)考慮加入“實際-理論-實際”策略，這是依據(jù)數(shù)學(xué)模型法是數(shù)學(xué)的一種重要方法而提出來的。即首先描述一個實際問題，通過觀察分析，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，然后同數(shù)學(xué)模型納入某個知識系統(tǒng)去處理，試圖用已有的數(shù)學(xué)模型（如方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計等）來解決，最后用其結(jié)果來闡釋實際問題，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、抽象、綜合、類比等能力。
　　當(dāng)我們在教學(xué)中始終貫穿著數(shù)學(xué)模型法的思想，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物的數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出熟悉的數(shù)學(xué)模型，可以達(dá)到用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，并使數(shù)學(xué)模型的意識成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。
　　2.數(shù)模法教學(xué)采用的方法
　　對于具體的實際問題，在利用數(shù)學(xué)模型法求解時，常有兩種可能情形：（1）在少數(shù)場合，由實際問題抽象出來的數(shù)學(xué)模型，不能納入已知的數(shù)學(xué)模型，須有待于邏輯地建立它的新理論，這就是數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。例如歐拉所提出的“哥尼斯堡七橋問題”。（2）在多數(shù)場合，由實際問題所抽象出來的數(shù)學(xué)模型，恰好是某個已知的方法或結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型的一部分。在這種情形下，可以利用已有的數(shù)學(xué)知識，推求其相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果，然后把所得的結(jié)果返還到原來的實際問題中去。這個基本過程，可以用以下框圖來表示：
　　通常第二種情形的解決過程正是目前數(shù)學(xué)教學(xué)中所經(jīng)常采用的方法、手段。
　　3.數(shù)模法教學(xué)應(yīng)注重與實際相結(jié)合
　　教師作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動的組織者、決策者、調(diào)控者，可以用數(shù)學(xué)模型法指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，并根據(jù)數(shù)學(xué)模型來安排教學(xué)，為學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)提供條件性知識，同時有目的地培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識。
　　從社會和生活需求的角度出發(fā)，可考慮在數(shù)學(xué)課程中引入一些應(yīng)用性的知識：如計算利息、投入產(chǎn)出、運輸、資源合理利用最大化等實際問題，以及在衣食住行、運動等方面的現(xiàn)實問題。還有，將一些基本的數(shù)學(xué)思想如數(shù)學(xué)化與模型化思想、優(yōu)化與決策化思想等確定為顯隱的課程內(nèi)容。這些內(nèi)容的引入，將對充實課程的應(yīng)用知識，提高學(xué)生解決問題和分析問題的能力起到非常好的作用。
　　4.具體實例分析教學(xué)
　　案例一：
　　在講授等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)內(nèi)容時，可適時地加入計算存款利息的有關(guān)知識。因為，在日常生活中，我們每個人都要與銀行打交道。比如，某人存入銀行現(xiàn)金100元，年利率為10％（按單利計），經(jīng)過3年后一次性取出本利和為130元，此時的130元是如何計算出來的？若年利率按復(fù)利計算，3年后一次性取出本利和為多少？針對這種問題，首先就要介紹一些相關(guān)的基本概念，例如本金、期數(shù)、利息、單利計息、復(fù)利計息等。然后分析兩種不同的計息情況：
　　（1）單利計息公式：設(shè)一筆資金的本金為P元，每期利率為i，若按單利計算利息，則利息值與本利和F可按期數(shù)排成下面的數(shù)列：
　　不難看出，復(fù)利的利息數(shù)列與本利和數(shù)列都是等比數(shù)列，公比都為（1＋i）。其中，利息的通項公式為：In＝P×（1＋i）n－1×i
　　本利和的通項公式為：Fn＝P（1＋i）n
　　從以上分析，可知所提問題的計算實際上是歸入等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，那么它的解決就可以套用已有的公式進(jìn)行計算：
　　若按單利進(jìn)行計算：
　　利息 I＝100×10％×3＝30元
　　本利和 F＝100（1＋3×10％）＝130元
　　若按復(fù)利進(jìn)行計算：
　　利息 I＝100×（1＋10％）3－1 ×10％＝12.1元
　　本利和 F＝100×（1＋10％）3＝133.1元
　　有了以上的相應(yīng)基礎(chǔ)知識，我們還可以將應(yīng)用問題適當(dāng)?shù)財U展為平時常見的三種儲蓄形式：活期儲蓄、整存整取定期儲蓄、零存整取儲蓄。在這三種形式下，存入本金到期后的本利和則可利用相關(guān)的知識進(jìn)行計算了。例如：年初某人計劃每月底存入銀行100元，月息為0.165％，分別按單利和復(fù)利計算，到年底時年金終值是多少？像這樣的一些實際問題，既貼近學(xué)生的現(xiàn)實生活，又緊扣教學(xué)內(nèi)容，能比較容易增強學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和信心。
　　案例二：
　　在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、社會實踐中，常會遇到一些這樣的問題：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“效果最好”等。這類問題在數(shù)學(xué)上有時可歸納為求某一函數(shù)的最大值或最小值問題。
　　例如：把一根直徑為d＝400mm的圓木，加工成矩形截面的柱子，問怎樣鋸法可使被廢的木料最少？
　　思考方法：要使廢棄的木料最少，就是要使柱子的截面積最大。所以，這個問題就是要求已知圓的最大面積的內(nèi)接矩形。
　　思路1：考察圓木的截面積。已知圓的直徑為d，設(shè)圓內(nèi)接矩形的面積為S，一邊AB的長為x，則另一邊BC長為， 所以，（0　　由此得到：數(shù)學(xué)模型I：x為何值時，函數(shù)有最大值?
　　要求函數(shù)S的最大值，可考慮采用求導(dǎo)數(shù)的方法：
　　＝＞S2=x2(d2-x2)=d2x2-x4（0　　令（S2）＇=0即2x(d2-2x2)=0解得：x=0（