初中數學分類討論思想方法的應用

　　摘 要： 初中數學應用分類討論數學思想方法的關鍵是提高學生對分類討論數學思想重要性的認識、弄清楚引起分類的原因、明確分類討論的標準、遵循分類討論的步驟、掌握分類討論的方法，按可能出現的情況做到既不重復，又不遺漏，分門別類加以討論求解，再將不同結論綜合歸納，得出正確答案。
　　關鍵詞： 初中數學 分類討論 應用
　　
　　我們在研究數學問題時，由于受到各種限制條件的制約和變化因素的影響，往往是根據數學本質屬性的相同點和不同點將其分成不同種類進行討論，這就是數學分類思想方法。這種思想方法在初中數學中得到廣泛應用。它不僅是解決數學問題的一種策略，還是訓練學生思維方法培養思維能力的重要手段。那么，如何才能使學生形成分類討論的數學思想呢？下面我結合自己多年的學習心得和經驗教訓談談這個問題。
　　一、提高一種認識
　　初中數學的分類思想最初見于有理數的引入，并在以后各章節內容中不斷加強。如絕對值性質的討論，二次根式的化簡，一元二次方程根的討論，三角形、四邊形的分類，點、線、圓與圓的位置關系等。在教學過程中，不僅要充分利用這些知識，讓學生明白分類討論是清晰、完整、嚴密地解答復雜數學問題的方法，還必須讓學生認識到，這對提高全面分析問題的思維能力及養成嚴謹的思維品質是大有益處的。通過這種策略形成學生對分類討論數學思想重要性的認識，激發他們形成這種思想的積極性和主動性。
　　二、突破兩個難點
　　關于分類討論思想的運用，學生常出現的問題有兩個方面：一是對于某些應該討論的問題，因思維不嚴謹，發現不了可能出現的不同情況，想不到需要討論；二是發現需要討論的問題時，劃分情況又難做到不重不漏，以及不善安排討論時機。這是教學過程中必須突破的兩個難點。一般地，確定一個題目是否需要討論，可看該題條件或結論所述對象是否唯一確定；何時進行討論，要看將要進行的步驟是否有足夠的條件。如解答某些問題時，若遇到需要用某一個含字母的式子作除式時，如果問題的條件中缺少判定此式非零的條件，則應據此式能否作除式分情況討論。再如從二次根式內開出因式前，則應考慮已知條件中是否具備判定此式非負的條件，若不具備，則應討論。
　　三、遵循三個步驟
　　應用分類討論思想方法解決數學問題的一般分為三步：第一步是確定分類對象，統一分類標準；第二步是逐類討論，分級進行；第三步是歸納總結，做出結論。如，某問題中涉及關于x的方程ax＋bx＋c＝0，若已知它是“一元二次方程”或“有兩根”，則隱含a≠0，不需討論；若已知它“有根”或“是方程”，則由于不能保證a≠0，故需分a＝0和a≠0兩種情況解答。
　　四、掌握四種形式
　　1.由數學概念引起的分類討論，如a的絕對值就要按a>0，a=0，a<0進行分類，才能去掉絕對值符號；遇到會有多個絕對值的問題，一般要用定零點（令各絕對值符號內的多項式為零求出相應的未知數的位），劃區間，去絕對值符號的方法來處理。
　　2.由定理、公式、運算性質的適用范圍引起的分類討論。如，一次函數y=kx+b的自變量取值范圍是-3≤x≤6，相應函數值的取值范圍是-5≤y≤-2，則這個一次函數的解析式為?搖?搖?搖?搖.
　　本題的自變量x的取值和函數值的取值的對應關系不明確，因此當x=-3時y=-5，x=6時y=-2；也可以當x=6時y=-5，x=-3時y=-2；于是有：-5=-3k+b-2=6k+b或-5=6k+b-2=-3k+b∴k=b=-4或k=-b=-3，所求的函數解析式是：y=x-4或y=-x-3.
　　3.由圖形的不確定性引起的分類討論，如平面幾何中線與線、線與面、面與面的位置關系均有多種可能，研究各元素間的位置關系時，要注意每一個位置關系都不可遺漏，對于多種可能的情況必須分開來進行研究。例如，已知圓O、圓O外切，半徑分別為1cm和3cm，那么半徑為5cm且與圓O、圓O都相切的圓一共可以作出多少個。此題也有兩個層次的分類，首先分三種情況：（1）都內切；（2）都外切；（3）一個內切，一個外切。而每種情況又都有兩種情形，所以共有6個這樣的圓。幾何分類討論問題，通常是按幾何圖形的特征或幾何圖形的位置進行分類。它以分析、觀察、比較為基礎，通過找出共同點和不同點，從而提出分類依據和標準。正確的分類符合兩條原則：（1）分類應按同一標準進行；（2）分類應該不重復，不遺漏。如把三角形分成斜三角形和等邊三角形兩大類就是錯誤的，因為既有重復（等邊三角形是斜三角形），又有遺漏（不包括直角三角形）。分類降低了問題的難度，是一種“分而治之”的解題策略。
　　4.由參數值的“量變”導致結果發生“質變”，而引起的分類討論。在研究含參數的函數、方程、不等式等問題時，如（m+1）x+4x+1≤0，需對二次項系數m+1是否等于0進行討論.又如，關于x的方程kx-4x-3=0有實數根，求k的值.本題首先要考慮到的x系數是字母k，因此要對字母k進行討論：（1）當k=0時，原方程為一元一次方程，它有實數根，所以k=0；（2）當k≠0時，原方程為一元二次方程，要使它有實數根，則△≥0，得到k≥-，所以k≥-且k≠0.綜合①、②得到k的取值范圍為k≥-.
　　應注意的是：一道題目是否需要討論，什么時候討論，并不是看題目中是否含有參數，而是看它是否影響繼續解題。有些題目一開始就要進行分類討論，有些題目則是在解題過程中進行討論，甚至可以回避討論。
　　總之，分類討論涉及全部初中數學的知識點，其關鍵是弄清楚引起分類的原因，明確分類討論的標準，應該按可能出現的情況做到既不重復又不遺漏，分門別類加以討論求解，再將不同結論綜合歸納，得出正確答案。數學分類思想是以數學知識為載體，以基本的數學方法為工具，以數學問題為背景，通過解決具體的數學問題來形成的。我們必須在認真學習新課標，研究新教材的基礎上，使學生逐步形成分類討論的數學思想，以達到培養學生靈活的思維品質，提高綜合能力的目的。