小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法簡(jiǎn)論

　　摘 要： 數(shù)學(xué)思想就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)方法的精髓和靈魂，數(shù)學(xué)方法就是解決數(shù)學(xué)問題一般程序，是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)和實(shí)際應(yīng)用，稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐運(yùn)用的指導(dǎo)思想，因此，了解和掌握數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于提高數(shù)學(xué)水平，培養(yǎng)分析解決問題的能力和深化數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的作用，是學(xué)好數(shù)學(xué)的法寶。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透一些數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于探索和改革數(shù)學(xué)教學(xué)具有十分重要的意義。
　　關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法 化歸思想 數(shù)形結(jié)合思想 對(duì)應(yīng)思想`
　　一、數(shù)學(xué)思想方法的概述
　　數(shù)學(xué)思想方法源于人類的社會(huì)實(shí)踐與數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)思想方法與哲學(xué)思想方法有著密切的關(guān)系。古希臘數(shù)學(xué)的開創(chuàng)者泰勒斯和畢達(dá)哥拉斯同樣也是古希臘著名的哲學(xué)家，這就使古希臘數(shù)學(xué)不可避免地打上了哲學(xué)思想方法的烙印。古希臘數(shù)學(xué)的主要特色是演繹論證，而這個(gè)特色則源于哲學(xué)界的辯論之風(fēng)，并由此形成了數(shù)學(xué)的論證思想和方法，這個(gè)思想方法使數(shù)學(xué)成為人們公認(rèn)的真理體系。不僅論證思想方法與哲學(xué)有關(guān)，其他的數(shù)學(xué)思想方法與哲學(xué)也密不可分。
　　數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。數(shù)學(xué)方法，是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，因此，人們習(xí)慣把它們合稱為數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯性知識(shí)載體，再重要的法則、公式，在教材中只能看到漂亮的結(jié)論，而許多例題的解法，也只能看到巧妙的處理，卻看不到有特殊實(shí)例的觀察、試驗(yàn)、分析、歸納、抽象概括或探索推理的心智活動(dòng)過程。因此，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的隱性知識(shí)系統(tǒng)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)包括顯性教學(xué)和隱性教學(xué)。如果教師在教學(xué)中，僅僅依照課本的安排，沿襲著從概念、公式到例題、練習(xí)這一傳統(tǒng)的教學(xué)過程，即使教師講得再深再透，學(xué)生也很難掌握，即使能夠掌握，這樣培養(yǎng)出來的學(xué)生也只是“知識(shí)型”、“記憶型”的，也不完全符合數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。
　　在認(rèn)知心理學(xué)中，思想方法屬于元認(rèn)知范疇，它對(duì)認(rèn)知活動(dòng)起著監(jiān)控、調(diào)節(jié)的作用，對(duì)培養(yǎng)能力起著指導(dǎo)性作用。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的“就意味著解題”，而解題的關(guān)鍵在于找到合適的解題思路，數(shù)學(xué)思想方法就是幫助找到解題思路的武器。因此，向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想方法，是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，鍛煉學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要途徑。
　　數(shù)學(xué)知識(shí)本身固然重要，但它并不是惟一的決定因素，而真正對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活和工作長(zhǎng)期起作用，并使其終生受益的是數(shù)學(xué)思想方法。未來社會(huì)將需要大量具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人才。21世紀(jì)國(guó)際數(shù)學(xué)教育的根本目標(biāo)就是“問題解決”。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是適應(yīng)未來社會(huì)的要求和國(guó)際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的時(shí)代召喚，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)技能和思維能力，其中最重要的是思維素質(zhì)，而數(shù)學(xué)思想方法就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念，形成良好思維素質(zhì)的關(guān)鍵。
　　二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具體的思想方法
　　1.化歸思想。所謂化歸就是將有待解決或未解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化方式，化歸為另一個(gè)相對(duì)比較容易解決的或者已經(jīng)有解決辦法的問題，以最終解決問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，遇到一些數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、隱蔽而難以解決的問題時(shí)，可先轉(zhuǎn)化，使生疏復(fù)雜的問題熟悉簡(jiǎn)單化、抽象的問題具體化，從而順利解決問題。例如，在平行四邊形、三角形、梯形、圓形等面積計(jì)算公式的推導(dǎo)中，全都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想。又如，把一個(gè)沒有學(xué)過的圖形，經(jīng)過割補(bǔ)、剪拼，轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形來求，還有相遇問題和工程問題的轉(zhuǎn)化，單位“1”的轉(zhuǎn)化，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和比例應(yīng)用題的轉(zhuǎn)化，解決問題中一些已知條件的轉(zhuǎn)化，等等。把一個(gè)實(shí)際問題通過某種轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，把一個(gè)較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一較簡(jiǎn)單的問題。值得注意的是化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”，它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。
　　2.數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)是一門以現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系為研究對(duì)象的科學(xué)，也就是說，“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)學(xué)科所研究的基本對(duì)象和基本內(nèi)容。在小學(xué)范圍內(nèi)，“數(shù)”一般指實(shí)數(shù)、代數(shù)式等；“形”一般指線段、長(zhǎng)方形、正方形等幾何圖形。數(shù)與形的關(guān)系并不是彼此孤立的，而是相互聯(lián)系、相互依賴、相輔相成、密不可分的，并且在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠充分利用“形”把一定的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來，是通過具體事實(shí)的直觀形象思維過渡到抽象邏輯思維的方法。數(shù)形結(jié)合思想是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，結(jié)合問題中各要素間的本質(zhì)聯(lián)系，根據(jù)實(shí)際需要，將數(shù)量關(guān)系與幾何圖形相結(jié)合，依據(jù)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的使問題得到巧妙解決的一種思想方法。數(shù)形的結(jié)合是雙向的，一方面，抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化，如用線段圖、長(zhǎng)方形面積圖或集合圖來幫助學(xué)生正確理解數(shù)量關(guān)系，使問題簡(jiǎn)明直觀。另一方面，復(fù)雜的形體可以用簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系表示，用圖解法分析問題就是運(yùn)用這種方法。數(shù)形結(jié)合能在數(shù)和形之間架起一座連接彼此的橋梁，可以將二者有機(jī)地結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)數(shù)和形的完美統(tǒng)一。其解決問題的策略具體表現(xiàn)為把有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化成圖形性質(zhì)的問題進(jìn)行分析，或?qū)⒂嘘P(guān)圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系的問題加以探討，最終使問題得以解決，達(dá)到事半功倍的效果。這種思想方法不僅要對(duì)問題中數(shù)的含義予以分析，而且要對(duì)其幾何意義加以表述，把抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀的幾何圖形緊密地聯(lián)系起來。它具備數(shù)的精確性和形的直觀性的雙重優(yōu)勢(shì)，以數(shù)精確地分析形，或以形直觀地表示數(shù)。如二年級(jí)開始教學(xué)生畫線段圖分析應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合思想有助于深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)提供有效的方法和策略，拓寬學(xué)生的思路，使學(xué)生的抽象思維和形象思維都得到發(fā)展，增強(qiáng)思維的靈活性，提高思維品質(zhì)。教師要注重這種思想方法的滲透，對(duì)蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)形結(jié)合思想適時(shí)地予以揭示和提煉，使學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還能體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，使學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力，以及開拓創(chuàng)新的能力。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要有機(jī)地結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容，做到持之以恒、循序漸進(jìn)和反復(fù)訓(xùn)練，使學(xué)生真正地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。
　　3.對(duì)應(yīng)思想。對(duì)應(yīng)思想是指在兩類事物(集合)之間建立某種聯(lián)系的思維方法，是數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，是函數(shù)和方程的思想支柱。在小學(xué)數(shù)學(xué)中“對(duì)應(yīng)”的現(xiàn)象，也是隨處可見的，譬如數(shù)與形、量與量、量與率、數(shù)量的變化規(guī)律等，都需要尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系。我們不僅要使學(xué)生理解這些“對(duì)應(yīng)”關(guān)系，而且能運(yùn)用“對(duì)應(yīng)”的思想去解決問題。因此，在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用對(duì)應(yīng)思想，會(huì)起到不同凡響的效果，但在具體教學(xué)中要注意以下幾方面。
　　首先要注意在觀察對(duì)比中對(duì)應(yīng)思想。觀察是一種有目的、有順序的知覺過程，學(xué)生通過觀察有關(guān)表面知識(shí)，在理解的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。烏申斯基說：“觀察、比較是一切思想的基礎(chǔ)。”在教學(xué)中，有效地指導(dǎo)學(xué)生觀察，并通過比較，能優(yōu)化學(xué)生“看”和“思”的過程，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，從而領(lǐng)悟、體會(huì)數(shù)學(xué)思想。如：在教“數(shù)數(shù)”、“比多少”等知識(shí)時(shí)，通過對(duì)物與數(shù)、圖與圖匹配關(guān)系的觀察，就滲透了對(duì)應(yīng)的思想方法。又如在算式中，由于數(shù)的變化而導(dǎo)致結(jié)果的變化，都需要學(xué)生在對(duì)比觀察中找出對(duì)應(yīng)關(guān)系。
　　
　　其次，要在數(shù)形結(jié)合中滲透對(duì)應(yīng)思想。通過在數(shù)與形之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，或者把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，幾何問題就能用代數(shù)方法來研究，使代數(shù)由于運(yùn)用幾何模型而具有鮮明的直觀性，通過與幾何的類比而得到進(jìn)一步的發(fā)展。小學(xué)生正處于形象思維向抽象思維過渡的時(shí)期，教師在教學(xué)中應(yīng)注重揭示和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助他們完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)從具體到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的理解。許多抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，可借助圖形使問題直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化。如在教11—20各數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，教師可適時(shí)地提供數(shù)軸，讓學(xué)生借助數(shù)軸對(duì)讀數(shù)、寫數(shù)、基數(shù)、序數(shù)進(jìn)行區(qū)分辨認(rèn)，使學(xué)生知道有方向的直線上的每一點(diǎn)都與數(shù)一一對(duì)應(yīng)。又如在圖形的面積教學(xué)中，先要求學(xué)生能熟練地尋找每條底邊，并與這條底邊相對(duì)應(yīng)的高。當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的圖形面積計(jì)算時(shí)，教師應(yīng)利用圖形的動(dòng)態(tài)變換，如演示三角形的面積中，同底等高的三角形有無數(shù)個(gè)。這就使學(xué)生理解一個(gè)面積的數(shù)量，對(duì)應(yīng)了無數(shù)多個(gè)圖形。又如，在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中，常常用線段圖使數(shù)量關(guān)系形象化，其實(shí)質(zhì)就是用線段圖的長(zhǎng)短表示數(shù)量的大小，借助線段長(zhǎng)度的和、差、倍、分關(guān)系來表示數(shù)量關(guān)系。這樣蘊(yùn)涵在題中的數(shù)量關(guān)系能通過圖形直觀地顯示，學(xué)生就能在形象思維的幫助下，提高邏輯推理活動(dòng)的有效性，有利于更好地分析題意，較快地找到解決問題的途徑。
　　最后，在應(yīng)用中滲透。讓學(xué)生掌握對(duì)應(yīng)的思想方法去分析問題，是提高學(xué)生解決問題能力的重要策略。如下一道題：“買5個(gè)籃球和1個(gè)足球需要360元；買5個(gè)籃球和5個(gè)足球需要480元，買1個(gè)籃球和1個(gè)足球分別需要多少元?”這道題就是原題的文字表述，學(xué)生往往會(huì)感到困難。如果讓學(xué)生養(yǎng)成把條件重新對(duì)應(yīng)摘錄分析的習(xí)慣，解決此題就輕而易舉了。把題中數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)成表格，或?qū)懗梢韵滦问剑?br/>　　籃球 足球 總價(jià)
　　學(xué)生從以上對(duì)應(yīng)關(guān)系中就能一目了然地看出4個(gè)足球的價(jià)錢是120元，這樣問題就迎刃而解了。又如在正、反比例問題中，更加突出兩個(gè)對(duì)應(yīng)變量之間與不變量的關(guān)系。解題時(shí)如何較快地找出對(duì)應(yīng)量與不變量，形成對(duì)應(yīng)思想是教學(xué)的關(guān)鍵。如：“小明家到學(xué)校有720米，6分鐘走到，照這樣計(jì)算，小明家到電影院960米，幾分鐘走到?”
　　當(dāng)學(xué)生能自覺地利用對(duì)應(yīng)思想去分析時(shí)，像以上題目，就會(huì)較快地找到“720米”與時(shí)間“6分鐘”的對(duì)應(yīng)，求出速度（720÷6=120米）。此速度就是走“960米”的速度，就能求出需要的時(shí)間。
　　參考文獻(xiàn)：
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　　［2］吳炯圻，林培榕.數(shù)學(xué)思想方法：創(chuàng)新與應(yīng)用能力的培養(yǎng)［M］.廈門：廈門大學(xué)出版社，2009.