營造和諧的課堂氣

　　摘 要： 創(chuàng)造和諧的課堂氣氛是確保教學(xué)實踐成功的前提，本文結(jié)合《數(shù)學(xué)分析》重理論的特點，從教學(xué)內(nèi)容生活化、教學(xué)方法多樣化、教學(xué)案例應(yīng)用化等三個方面著力探討了創(chuàng)造和諧的課程氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》的興趣的方法。
　　關(guān)鍵詞： 《數(shù)學(xué)分析》 課堂氣氛 學(xué)習(xí)興趣
　　
　　創(chuàng)造和諧的課堂氣氛是確保教學(xué)實踐成功的前提。《數(shù)學(xué)分析》側(cè)重于理論知識的研究，大量的定義、定理、公式、大量的證明，往往會使學(xué)生感到枯燥，容易產(chǎn)生厭煩情緒。這種情緒的產(chǎn)生會導(dǎo)致課堂氣氛死氣沉沉，如果教師沒有及時調(diào)整的話，有些學(xué)生會出現(xiàn)“身在曹營心在漢”的現(xiàn)象。教師無法與學(xué)生們互動交流，無法了解學(xué)生們對知識掌握的真實情況，這種惡性循環(huán)將造成教學(xué)的失敗。因此，創(chuàng)造良好的課堂氣氛是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的關(guān)鍵。創(chuàng)造和諧的課堂氣氛，可從下面三個方面入手。
　　一、教學(xué)內(nèi)容生活化
　　數(shù)學(xué)是對客觀世界數(shù)量關(guān)系的抽象。在教學(xué)實踐過程中，教師應(yīng)把理論知識與實際問題相結(jié)合，應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，只有這樣所講授的知識才易被學(xué)生接受理解。例如:《數(shù)學(xué)分析》中，數(shù)列極限的定義，若直接給出數(shù)學(xué)語言描述：?坌ε＞0，?堝N∈N，使得，當(dāng)n＞N時，有|a-a|＜ε。學(xué)生們會不知所以然，只能死記硬背。但如果通過一個具體的實際問題（如:一尺之棰，日取其半，萬世不竭），就可以抽象出極限的含義或特性：隨著n的無限增大，a無限地接近某一常數(shù)a。但這個特性只是文字表述，為得到數(shù)學(xué)語言描述，我們還需要繼續(xù)生活化，極限的特性換句話表述就是：當(dāng)n充分大時，數(shù)列的通項a與常數(shù)a之差的絕對值可以無限小。要把這個特性描述成數(shù)學(xué)語言就要解決兩個問題：第一，“n充分大”怎么描述？第二，“a與a之差的絕對值可以無限小”怎么描述？首先來看“充分大”，也就是足夠大的意思。“足夠”這個詞怎么理解呢？我們常聽人說：如果我有足夠多的錢，我就可以買一套兩室一廳的房子，假設(shè)他要買的房子價值70萬，大于或等于70萬就是他所謂的足夠多的錢。從這個生活中的例子我們可以看出：只要我們能找到一個參照數(shù)N，大于或等于N就可描述足夠多或足夠大，于是“n充分大”就可以通過“?堝N∈N，n＞N”來刻畫。其次來看“無限小”。為了描述它，我們引入一個任意小的正數(shù)ε，此ε是一個你說它有多小就有多小的抽象的數(shù)，“無限小”就可以用“＜ε”來刻畫，你想想，比任意小都小的數(shù)難道不是無限小嗎？這樣，“a與a之差的絕對值可以任意小”就可以用“|a-a|＜ε”來刻畫。于是，只要稍微注意極限特性中前后誰是條件誰是結(jié)論，極限的特性就可以用數(shù)學(xué)語言描述為：“?坌ε＞0，?堝N∈N，使得，當(dāng)n＞N時，有|a-a|＜ε。”這不就是數(shù)列極限的定義嗎？通過這個生活化的過程，數(shù)列極限的ε-N定義就很容易被學(xué)生接受。
　　二、教學(xué)方法多樣化
　　科學(xué)的教學(xué)方法能夠使教學(xué)實踐達(dá)到事半功倍的效果。在《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)實踐過程中，教師應(yīng)堅持啟發(fā)式教學(xué)，設(shè)置問題背景，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和掌握有關(guān)知識。如在教學(xué)實踐中，教師可以巧設(shè)懸念，故布疑陣，給學(xué)生造成一種躍躍欲試和急于求知的迫切心情，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。比方說在講解隱函數(shù)存在定理時我們可以這樣安排講授。
　　第一步：給出隱函數(shù)的定義，讓學(xué)生知道隱函數(shù)由方程確定，是隱藏在方程背后的函數(shù)。如方程xy+y-1=0，對于每一個x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），都能根據(jù)這個方程唯一確定y與之對應(yīng)，即方程xy+y-1=0確定了一個定義在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的函數(shù)，記作y=f（x），這時，我們稱方程xy+y-1=0確定一個定義在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隱函數(shù)y=f（x）。一般地，對于方程F（x，y）=0，若存在集合I、J，使得對于任何x∈I，恒有唯一確定的y∈J，它與x一起滿足方程F（x，y）=0，則稱方程F（x，y）=0確定一個定義在I上，值域含于J的隱函數(shù)。若把它記為y=f（x），x∈I，y∈J，則成立恒等式F（x，f（x））≡0，x∈I。
　　并且有些隱函數(shù)可以寫成顯函數(shù)的形式，如方程xy+y-1=0所確定的定義在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隱函數(shù)y=f（x）可表示成顯函數(shù)的形式：y=。
　　第二步:設(shè)問。是不是每一個方程都能確定隱函數(shù)？倘若是，那么，是不是每一個隱函數(shù)都能寫成顯函數(shù)呢？
　　第三步：解惑。方程x+y+c=0，當(dāng)c＞0時，就不能確定任何函數(shù)f（x），使得x+［f（x）］+c=0，因為這沒有意義。所以并不是每一個方程都能確定隱函數(shù)的。對于方程y-x-siny=0，確實存在一個定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)f（x），使得f（x）-x-sinf（x）≡0，但這函數(shù)f（x）卻無法用x的算式來表達(dá)，即不能把f（x）寫成顯函數(shù)的形式。
　　第四步：再設(shè)問。既然不是每一個方程都能確定隱函數(shù)，并且即使有些方程能確定隱函數(shù)，我們也不能或不易把隱函數(shù)寫成顯函數(shù)的形式，那么，什么樣的方程能確定隱函數(shù)呢？我們在研究隱函數(shù)問題時是不是可以不用通過顯函數(shù)，而直接對方程本身進(jìn)行處理就能研究出隱函數(shù)的某些形態(tài)呢？
　　第五步：擺出隱函數(shù)定理，再解惑。隱函數(shù)定理就是解決第四步的問題。
　　在實際中，我們不但要注意因材施教，而且要注意因內(nèi)容施教，采用靈活多樣的教學(xué)方法（如“研究式”、“發(fā)現(xiàn)式”、“自學(xué)式”、“精講多練式”等）進(jìn)行教學(xué)，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、分析問題和解決問題的能力、創(chuàng)新思維的能力。
　　三、教學(xué)案例應(yīng)用化
　　能夠解決實際問題的學(xué)習(xí)，學(xué)生才會認(rèn)為是有意義的，才能激發(fā)求知的欲望。所以在教學(xué)實踐過程中，應(yīng)時刻把理論知識應(yīng)用于實際，通過抽象地概括、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生們體會到數(shù)學(xué)分析中定義、定理、公式是從現(xiàn)實世界中得到的，與現(xiàn)實世界有著千絲萬縷的聯(lián)系，并且反過來應(yīng)用于現(xiàn)實世界解決各種實際問題，由此逐步培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識問題、分析問題、解決問題的能力。例如在講“根的存在定理”時，可補(bǔ)充如下例子。
　　例：日常生活中一件普通的事實：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。這個看來似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象能用數(shù)學(xué)語言給予表述，并用數(shù)學(xué)工具來證實嗎？
　　【模型假設(shè)】（1）椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四腳的連線呈正方形。（2）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。（3）對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。
　　【模型構(gòu)成】中心問題是用數(shù)學(xué)語言把椅子四只腳同時著地的條件和結(jié)論表示出來。
　　首先要用變量表示椅子的位置。注意到椅腳連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置。在圖中，椅腳連線為ABCD，對角線AC與x軸重合，椅子繞中心點O旋轉(zhuǎn)角度θ后，正方形ABCD轉(zhuǎn)至A′B′C′D′的位置，所以對角線AC與x軸的夾角θ表示了椅子的位置。
　　其次要把椅腳著地用數(shù)學(xué)符號表示出來。如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，那么當(dāng)這個距離為零時就是椅腳著地了。椅子在不同位置時椅腳與地面的距離不同，所以這個距離是椅子位置變量θ的函數(shù)。
　　雖然椅子有四只腳，因而有四個距離，但是由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個距離函數(shù)就行了。記A，C兩腳與地面距離之和為f（θ），B，D兩腳與地面距離之和為g（θ）（這里f（θ），g（θ）≥0）。由假設(shè)（2），f和g都是連續(xù)函數(shù)。由假設(shè)（3），椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的θ，f（θ）和g（θ）中至少有一個為零。當(dāng)θ=0時不妨設(shè)g（0）=0，f（0）＞0。這樣，改變椅子的位置，使四只腳同時著地，就歸結(jié)為證明如下數(shù)學(xué)命題：
　　已知f（θ）和g（θ）是θ的連續(xù)函數(shù)，對任意θ，f（θ）?g（θ）=0，且g（0）=0，f（0）＞0。證明：存在θ，使f（θ）=g（θ）=0。
　　【模型求解】上述命題有多種證明方法，這里介紹其中比較簡單，但是有些粗糙的一種。
　　將椅子旋轉(zhuǎn)，對角線AC與BD互換。由g（0）=0和f（0）＞0可知g（）＞0和f（）=0。
　　令h（θ）=f（θ）-g（θ），則h（θ）＞0和h（）＜0。由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的根的存在定理，必存在θ（0＜θ＜）使h（θ）=0，即f（θ）=g（θ）。
　　最后，因為f（θ）?g（θ）=0，所以f（θ）=g（θ）=0。
　　這種題是開放型的數(shù)學(xué)模型題，因為模型假設(shè)也可以是:（1）桌子的四個腳構(gòu)成平面上的嚴(yán)格的長方形（或梯形、平行四邊形）;（2）地面高度可能出現(xiàn)間斷。把他們留給學(xué)生課后練習(xí)的話，就會給學(xué)生以更大的思維空間，更好的訓(xùn)練，這對激發(fā)學(xué)生興趣、提高教學(xué)質(zhì)量是非常有幫助的。
　　此外，教師還可以給學(xué)生介紹些與其相關(guān)的數(shù)學(xué)小常識、數(shù)學(xué)家的小典故，這樣做不但可以調(diào)節(jié)課堂氣氛，而且可以加深學(xué)生們對知識點的記憶。
　　
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　　基金項目：湖北工業(yè)大學(xué)教學(xué)研究項目（校2010032）