特殊等比數(shù)列的趣味性快速求和解法

　　摘 要： 本文通過研究一類特殊等比數(shù)列的趣味性快速求和，歸納給出了這類特殊等比數(shù)列的趣味求和解法。這種趣味解法可以讓學(xué)生們領(lǐng)會特殊等比數(shù)列的快速求和方法，同時也讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美。
　　關(guān)鍵詞： 等比數(shù)列 快速求和 解法
　　
　　1.引言
　　如何在高度緊張的考場環(huán)境中提高解題速度和解題準確率是處于高考復(fù)習(xí)階段的莘莘學(xué)子共同關(guān)心的問題。那么，到底如何在考場環(huán)境中提高解題速度和解題準確率呢？這除了取決于考生臨場發(fā)揮和自信心外，更重要的在于考生平時對解題技巧的歸納和掌握程度。下面我就平時數(shù)學(xué)教學(xué)過程中自己的一點關(guān)于數(shù)列趣味性計算技巧總結(jié)如下，供同學(xué)們和同行借鑒參考，也希望借此幫助學(xué)生在感受數(shù)學(xué)美的同時舒緩緊張的神經(jīng)。
　　等比數(shù)列求解
　　++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（1）
　　++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（2）
　　++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（3）
　　……?搖?搖?搖?搖?搖?搖……
　　++…+?搖?搖（n=0，1，2，…）?搖?搖（k-1）
　　按照課本上學(xué)習(xí)的等比數(shù)列求解公式：
　　S=（a：首項；q：公比；n：項數(shù)）
　　該公式看似簡單，但隨著首項的逐漸增大，其計算難度也逐漸增大，同時也影響了解題的速度與準確率。在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)該類型的等比數(shù)列有兩種快速且?guī)の缎缘那蠼夥椒ā?br/>　　2.趣味圖解法
　?。?）假定把圓的面積當作1，則式（1）可以理解為：
　　從圖中可以看出，各式分別單位圓減去帶圈的數(shù)字部分（該部分的數(shù)值等于數(shù)列的最后一項），即：
　　1-?搖?搖?搖?搖1-?搖?搖?搖?搖1-?搖?搖?搖?搖1-
　　由此可得該數(shù)列的總和為：
　　++…+=1-
　　即總和等于首項（a）的2倍減去末項（a）。
　?。?）同理，假定把圓的面積當作1，則式（2）可以理解為：
　　+?搖?搖?搖++?搖?搖?搖+++?搖?搖?搖 ++++
　　從圖中可以看出，各式分別以虛線處減去帶圈的數(shù)字部分（該部分的數(shù)值等于數(shù)列的最后一項），即：
　　-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-
　　由此可得該數(shù)列的總和為：
　　++…+=-
　　即總和等于首項（a）的2倍減去末項（a）。
　?。?）同理，假定把圓的面積當作1，則式（2）可以理解為：
　　 +?搖?搖?搖++?搖?搖?搖+++?搖?搖?搖++++
　　
　　從圖中可以看出，各式分別以虛線處減去帶圈的數(shù)字部分（該部分的數(shù)值等于數(shù)列的最后一項），即：
　　-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-?搖?搖?搖?搖-
　　由此可得該數(shù)列的總和為：
　　++…+=-
　　即總和等于首項（a）的2倍減去末項（a）。
　　3.逆向求解法
　　由于該類型的數(shù)列公比是，因此數(shù)列當中后一項的2倍等于前一項。因此，如果數(shù)列本身再加上其末項，該數(shù)列即可轉(zhuǎn)化為：
　?。?）如果k=2時，數(shù)列=-
　?。?）如果k=3時，數(shù)列=-
　?。?）如果k=4時，數(shù)列=-
　　計算結(jié)果與上述圖解法相等，即此方法亦可行。
　　4.數(shù)列極限
　　從該數(shù)列的上述圖解法和逆向求解法可知，
　　即該數(shù)列極限等于首項的2倍。
　　5.結(jié)語
　　從圖解法和逆向求解法可知，這類等比數(shù)列總和等于首項的2倍減去末項；數(shù)列極限則等于首項的2倍。若能記住這個重要的結(jié)論，對于高考這種高強度的考試來說，無疑可以節(jié)省時間，同時提高解題速度和解題的準確率。相比于傳統(tǒng)的等比數(shù)列公式求解法，本文的圖解法和逆向求解法更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)美。