在變化中引導學生深化理解

　　摘 要： 在初中數學教學中，教師要通過題目內容和形式的不斷變化，讓學生從不同的角度思考問題，體現知識的運用的多面性和層次性，使學生較全面地理解每個章節的知識，從而不斷提高學生對知識的理解能力和運用能力。
　　關鍵詞： 初中數學 知識 深化理解
　　
　　知識的不同層面，只有在運用過程中通過有規則的變化才能呈現出來，教學中教師在設計教案時，要充分體現知識的聯系性、連續性和層次性.
　　一、在步步延伸中對知識深化的理解
　　題目的訓練能起到消化概念，理解法則的作用，但孤立的單個題目，只能展示知識點某一個面，而不是全部，要使學生全面地掌握，必須出一系列有密切聯系的題目組合.
　　如，教學直角三角形勾股數據時可這樣引導與深化.
　　例1.如果一個三角形的兩邊長分別是3米和4米，則另一邊的長是多少？學生回答是5米.教師接著問：這個三角形的面積是多少平方米？學生首先知道是直角三角形，兩條直角邊分別是3米和4米，故面積為6平方米.
　　變式1：下列三組數據是三角形的三條邊，問哪一組數據能直接計算出三角形的面積？
　　（A）9、12、15 （B）4、6、7 （C）5、12、13
　　本題實際上是檢驗哪組數據符合勾股定理.
　　變式2：如果直角三角形的三邊長分別是3、4、5，那么三邊長分別為0.3、0.4、0.5和30、40、50的三角形是什么形狀的三角形？通過歸納你領會到了什么？
　　變式3：如圖1，當AB=13米，BC=12米，AD=4米，DC=3米時，求下列四邊形面積.
　　簡要分析：由三角形ADC是直角三角形求出AC的長，再根據三角形ABC三邊的邊長關系，得出該三角形是直角三角形，即可求出四邊形的面積.
　　變式4：如圖2，當AB=13米，BC=12米，AD=4米，DC=3米時，求下列四邊形面積？
　　簡要分析：連接AC，得出直角三角形ADC，求出AC的長.再根據三角形ABC的三邊長度，不難看出其符合勾股定理這一規則，從而求出三角形ABC的面積，進而求出此四邊形的面積.
　　 圖1圖2
　　當然，還可以根據學情繼續變化，使學生逐步掌握直角三角形的知識點，同時在不斷變化的過程中，使學生深化對知識的理解，從而牢固地掌握、靈活地運用知識.
　　二、在同類比較中對知識深化的理解
　　數學教學中有好多科學性、規律性的結論是需要啟發學生思維，使學生通過比較得出正確結論的，當然在比較過程中也有歸納和總結.在初中階段，比較的形式出現得較多的是同類比較，為了使學生在學習中生成智慧，新教材將舊教材中一些定理和公式有意識隱去，讓學生通過知識的深化去理解和總結.教師要理解新教材的先進理念，以及新教材的編寫意圖.
　　例2.方程x-2x+1=0的根為x=1，x=1，則x+x=2，x?x=1.
　　方程x+3x-4=0的根為x=-4，x=1，則x+x=-3，x?x=-4.
　　方程x-x-1=0的根為x=，x=，則x+x=1，x?x=-1.
　　（1）由此可得到什么猜想？你能證明你猜想的結論嗎？
　　（2）利用（1）的結論解決下列問題：已知α、β是方程x+（m-2）x+502=0的兩根，求代數式（502+mα+α）（502+mβ+β）的值.
　　分析：（1）觀察方程的兩根的和與積與方程的系數之間的關系，利用系數表示出兩個根的和與積得到結論，然后利用求根公式進行證明；（2）先根據方程根的定義得出α+（m-2）α+502=0，β+（m-2）β+502=0，變形之后，再利用（1）的結論求出即可.
　　解：（1）猜想：若方程x+px+q=0（p、q是常數，x是未知數）有兩個根x、x，則x+x=-p，x?x=q.理由如下：
　　∵方程x+px+q=0的兩實根是x=，x=，
　　∴x+x=+==-p，
　　x?x=?==q.
　　（2）∵α、β是方程x+（m-2）x+502=0的兩根，
　　∴α+（m-2）α+502=0，β+（m-2）β+502=0，
　　∴α+mα=2α-502，β+mβ=2β-502，
　　又由（1）知，α+β=2-m，α?β=502，
　　∴（502+mα+α）（502+mβ+β）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008.
　　本題訓練目的是通過比較對知識進行深化理解，探索一元二次方程根與系數的關系，研究總結出規律，方便于今后類似題目的解答，學生總結的是舊教材中的韋達定理.這又可以比較出教育新舊理念的根本區別在于：是教給學生知識，還是教給學生智慧.
　　三、在添加條件中對知識深化的理解
　　知識之間是互相聯系的，要將知識聯系得恰到好處不是一件簡單的事情.數學中往往在一道簡單的題目上添加一個條件就能使題目變得有價值，就能使學生有探索和研究的空間，能動地掌握所學知識.
　　例3.如圖3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，AE、DC的延長線相交于點F，連接AC、BF，（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；（2）添加一個條件，使四邊形ABFC是菱形，并進行說明.
　　分析：（1）根據點E是BC的中點即可求出BE=CE，又知AB∥CD，故可得∠1=∠2，∠3=∠4，于是證得△ABE≌△FCE，進一步得到AB=CF，結合梯形的知識即可證得四邊形ABFC是平行四邊形；（2）該問答案不唯一，添加條件可為：AC=CF或AF平分∠BAC或AE⊥BC，根據菱形的判定定理即可證得四邊形ABFC是菱形.
　　證明：（1）∵點E是BC的中點，∴BE=CE，又∵AB∥CD，
　　∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF.
　　又∵梯形ABCD中AB∥CD，∴四邊形ABFC是平行四邊形．
　　（2）添加條件（不唯一）可為：AC=CF.
　　由（1）可知：四邊形ABFC是平行四邊形，
　　∵AC=AB，∴平行四邊形ABFC是菱形.
　　不難看出本題第二問還可以添加條件：如，AF平分∠BAC或AE⊥BC等.添加條件后就使知識之間的區別和聯系立即呈現出來，能使學生在題目的變化中加深了對數學知識的理解，達到融會貫通.