逆矩陣一題多解法簡述

　　摘 要: 本文就同一矩陣，給出了一題多解的求逆矩陣的方法，并比較這幾種方法的優缺點.
　　關鍵詞： 逆矩陣 Hamilton—Caley 等價標準形 線性方程組
　　
　　矩陣是數學中的一個重要的基本概念，是代數學的一個主要研究對象，也是數學研究和應用的一個重要工具.逆矩陣在矩陣的理論和應用中占有相當重要的地位.不同矩陣的逆矩陣可用不同的方法來求，從而達到簡便、易求的目的.下面針對同一例題給出求逆矩陣的若干方法.
　　例1：設方陣A=1 2 32 2 13 4 3，求A.
　　解:1.Hamilton—Caley定理：設A是數域P上的n階矩陣，f（λ）=|A-λE|=λ+aλ+…+aλ+a為A的特征多項式，則f（A）=A+aA+…+aA+aE=0，若A可逆，則a=（-1）|A|≠0，即A=-（A+aA+…+aA+aE）.由f（λ）=|A-λE|=-λ+6λ+6λ+2，故f（A）=-A+6A+6A+2E，即A=（A-6A-6E）= 1 3 -2- -3 1 1 -1.
　　2.（線性方程組法：若n階矩陣A可逆，則AA=E，于是A的第i列是線性方程組AX=E的解，其中i=1，2，…，n，E是第i個分量是1的單位向量.因此，我們可以去解線性方程組AX=B，其中B=（b，b，…，b），然后把所求的解的公式中的b，b，…，b分別用E，E，…，E代替，便可以求得A的第1，2，…，n列.設X=（x x x），B=（b b b），則x+2x+3x=b2x+2x+x=b3x+4x+3x=b?圯x+2x+3x=b-2x-5x=b-2bx=b+b-b
　　代入E，E，E，x=（1 3 -2）x=（- -3 ）x=（1 1 -1），即A=xxx .
　　3.等價標準形法：構造矩陣D=A EE 0.（1）對D的前n行（A，E）進行初等的行變換;（2）對D的前n列AE進行初等列變換，則經過有限次上述變換后，A EE 0初等行及列變換E CB 0，由此得A=BC.構造矩陣A EE 0通過初等行及列變換得B=1 0 20 1 -0 0 1，C=-1 1 01 - 01 1 -1，則A=BC.
　　本例還可使用伴隨矩陣法，初等變換法同樣可以得到相同的結論.從該例可以看出，對同一矩陣求逆矩陣方法多樣，可以根據題目選擇適當的方法求解.
　　
　　參考文獻：
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