試析向量數量積的多角度應用

　　向量進入中學是數學教育改革的一個重要特征。由于向量具有幾何形式與代數形式的雙重性，使之成為中學數學知識的一個交匯點。利用向量的數量級可解決有關長度、角度的計算及有關平行、垂直等位置關系。因此，向量的數量積在數學的各個分支中有著廣泛的應用，它是解決數學問題的重要方法之一，它的應用，往往可簡化解題過程和解題難度。下面略舉數例說明。
　　一、向量數量積在平面幾何中的應用
　　向量數量積可處理平面幾何中有關長度、角度、垂直等問題，這就為解決平面幾何問題另辟了蹊徑，從而簡化了解題過程，降低了論證推理的難度。
　　例1證明：直徑所對圓周角為直角。
　　已知：AC為圓O的一條直徑，∠ABC為圓周角，求證：∠ABC=90°。
　　二、向量數量積在解析幾何中的應用
　　在空間解析幾何教學中，我們主要研究了空間點、線、面的關系，點線、點面的距離也是一個重要知識點。解決距離的運算運用傳統(tǒng)方法往往比較煩瑣，而且容易發(fā)生運算錯誤，而向量的應用則大大簡化了運算，顯示了它的優(yōu)越性。
　　例3 一個圓的直徑端點為A(x1，y1)，B(x2，y2) ，證明圓方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
　　三、向量數量積在三角中的應用
　　一些三角公式，如兩角差的余弦公式、正弦定理、余弦定理等，用傳統(tǒng)的代數法比較麻煩且不易理解，而向量數量積的引用和證明會使問題簡單明了，收到事半功倍的效果。
　　例4證明正弦定理。
　　（注：若△ABC為鈍角三角形同樣成立，讀者可不妨一試）
　　例5證明公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。
　　證明：在單位圓中取α的終邊OA，β的終邊OB
　　∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
　　四、向量數量積在立體幾何中的應用
　　利用向量作為解決立體幾何問題的工具，將空間結構具體化、代數化，有利于克服學生空間想象力的障礙，而且使一些難以入手的問題簡單化，減少了添輔助線的困難，特別是在空間垂直的應用上，向量更突出了它的優(yōu)越性，使問題變得既直觀又容易接受。
　　總之，向量作為中學數學常用工具之一，隨著數學領域的不斷深入，向量在解題上的快捷、簡化功能越來越明顯，越來越得到推廣。以上僅舉了向量的幾個方面的應用，我們在平時的教育教學中如果能積極引導，鼓勵學生善于思考，提高學生的觀察發(fā)現能力，巧妙地構造向量解決實際問題，那么我們還將會發(fā)現更多更廣的向量的妙用。
　　（江蘇省宜興中等專業(yè)學校）