數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點(diǎn)思考

　　數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本要素，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心。只有具有正確明晰的概念，才能牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)。每位數(shù)學(xué)教師都能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性和難度，也都有這方面的獨(dú)到見(jiàn)解和經(jīng)驗(yàn)，下面談?wù)勎覍?duì)小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點(diǎn)拙見(jiàn)。
　　一、 關(guān)注概念名稱字面意思的解讀，謹(jǐn)防歧義
　　小學(xué)數(shù)學(xué)中，有許多概念其名稱的字面意思即是此概念的本質(zhì)屬性。教師要重視對(duì)概念名稱字面意思的具體解釋和分析，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)概念名稱的字面意思直接思考它的涵義。
　　1.語(yǔ)素分解法。先分析構(gòu)成概念名稱的每個(gè)語(yǔ)素的意思，再領(lǐng)會(huì)整個(gè)概念名稱的意思。例如：周長(zhǎng)，“周”指一周，“長(zhǎng)”指長(zhǎng)度，合起來(lái)即（平面圖形）一周的長(zhǎng)度。
　　2.語(yǔ)素類推法。例如，知道了成活率、及格率等百分率的意思，就可以類推出其他沒(méi)學(xué)過(guò)的諸如近視率、利用率的意思。
　　3.綜合運(yùn)用法。比如，學(xué)習(xí)“質(zhì)因數(shù)”這個(gè)概念，先用語(yǔ)素分解法領(lǐng)會(huì)“質(zhì)”的意思，即質(zhì)數(shù)；再用語(yǔ)素類推法，由“因數(shù)”的含義類推質(zhì)因數(shù)的含義：既是質(zhì)數(shù)，又是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)。
　　但有些概念，其字面意思揭示的并不是概念的本質(zhì)屬性。如倒數(shù)，學(xué)生往往會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為“倒”就是倒數(shù)的本質(zhì)，出現(xiàn)諸如2.5的倒數(shù)是5.2這樣的錯(cuò)誤。所以，我們?cè)诮虒W(xué)概念時(shí)，務(wù)必要關(guān)注概念名稱的字面意思對(duì)學(xué)生理解概念帶來(lái)的影響，對(duì)于正向的、積極的影響我們要充分利用，如果帶來(lái)容易產(chǎn)生歧義的負(fù)向的影響，我們也要采取有效措施，防患于未然，切不可置之不理。
　　二、 關(guān)注概念引入，開(kāi)好概念教學(xué)的頭
　　引出新概念的過(guò)程，是揭示概念的發(fā)生和形成的過(guò)程，而各個(gè)數(shù)學(xué)概念的發(fā)生和形成過(guò)程又不盡相同：有的是現(xiàn)實(shí)模型的直接反映；有的是在已有概念的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)一次或多次抽象后得到的；有的是從數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要中產(chǎn)生的；有的是為解決實(shí)際問(wèn)題的需要而產(chǎn)生的；有的是將思維對(duì)象理想化，經(jīng)過(guò)推理而得到的；有的則是從理論上的存在性或從數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)中構(gòu)造產(chǎn)生的。因此，教學(xué)中必須根據(jù)各種概念的產(chǎn)生背景，結(jié)合學(xué)生的具體情況，適當(dāng)?shù)剡x取不同的方式去引入概念。
　　【案例】《求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）百分之幾》一課的引入。
　　1.出示：
　　師：一般新的商店開(kāi)業(yè)，都有降價(jià)促銷的優(yōu)惠活動(dòng)。前段時(shí)間我們臨海的世紀(jì)聯(lián)華開(kāi)業(yè)時(shí)，老師也去了，我發(fā)現(xiàn)了上面的信息。比比看，哪種商品降價(jià)較多？
　　引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，求出現(xiàn)價(jià)與原價(jià)的差即降價(jià)的錢就可以比較出哪種商品降價(jià)較多。
　　2.接著出示洗發(fā)水的降價(jià)信息。
　　師：洗發(fā)水和毛巾比較，你覺(jué)得哪種降價(jià)較多？
　　引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)求出降價(jià)的錢也不能比較出哪種商品降價(jià)較多，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)毛巾降了，而洗發(fā)水沒(méi)有，所以是毛巾降價(jià)較多。（畫(huà)線段圖幫助學(xué)生直觀感受）
　　3.再出示T恤衫的降價(jià)信息。
　　師：T恤衫和洗發(fā)水，都沒(méi)有降到，哪種降價(jià)較多？
　　師：毛巾降了，如果能算出洗發(fā)水降了幾分之幾，T恤衫降了幾分之幾，就好比較了。
　　師：我們先來(lái)研究簡(jiǎn)單的。毛巾降了，這怎么算出來(lái)的？
　　生1：4÷8=。
　　生2：不對(duì)，4÷8表示現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的。降了應(yīng)該用降價(jià)的錢和原價(jià)比，（8-4）÷8=。
　　接著讓學(xué)生分別求出洗發(fā)水降了，T恤衫降，牙膏降了。
　　師：看表格比一比哪種商品降得最厲害？其次呢？再次呢？
　　師:不能一眼看出怎么辦？
　　生1：通分
　　生2：通分太麻煩，化成百分?jǐn)?shù)。
　　求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多(少)百分之幾的問(wèn)題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，但在小學(xué)生的生活中基本接觸不到，因此學(xué)生很難理解這個(gè)數(shù)學(xué)模型存在的意義，這就容易導(dǎo)致學(xué)生對(duì)本課內(nèi)容的被動(dòng)接受和死記硬背。為此，我將“比較商品的降幅”引入本課學(xué)習(xí)，借助這一生活原型幫助學(xué)生理解本課數(shù)學(xué)模型存在的現(xiàn)實(shí)意義，而且使學(xué)生清晰了求“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多(少)百分之幾”問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，即指的是哪兩部分相比，為概念學(xué)習(xí)做好了充分的準(zhǔn)備。
　　三、 做好已有經(jīng)驗(yàn)與抽象定義的有效對(duì)接
　　在學(xué)習(xí)某一概念前，學(xué)生一般都會(huì)有一些不知不覺(jué)中形成的認(rèn)識(shí)。這種認(rèn)識(shí)產(chǎn)生于他們的日常生活或其他無(wú)意識(shí)的活動(dòng)，是他們?nèi)粘Ｉ罱?jīng)驗(yàn)在感性層次上的概括，并成為他們學(xué)習(xí)科學(xué)概念的出發(fā)點(diǎn)。在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)正視學(xué)生的已有認(rèn)識(shí)，一方面要積極利用它，發(fā)揮其實(shí)踐性、淺顯性、通俗性等特點(diǎn)，為新概念的建構(gòu)作鋪墊；另一方面要分析它對(duì)學(xué)生正確理解概念產(chǎn)生的干擾，設(shè)法預(yù)防、抑制或糾正。
　　【案例】《三角形的高》教學(xué)。
　　1.請(qǐng)兩位同學(xué)上臺(tái)比身高，突出應(yīng)從頭頂也就是最高點(diǎn)開(kāi)始測(cè)量。
　　2.讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的硬紙做的三角形，比比哪個(gè)三角形高一些？在小組合作活動(dòng)中，學(xué)生會(huì)把三角形豎起來(lái)，使三角形的一條邊和桌面貼在一起，比比誰(shuí)的三角形高一些，這樣他們很容易就想到了要看最上面的一個(gè)頂點(diǎn)的位置，因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)最高。在比的過(guò)程中學(xué)生為了證明是自己的三角形高一些，還會(huì)變換與桌面貼在一起的那條邊。這時(shí)他們又發(fā)現(xiàn)當(dāng)放在底下的這條邊發(fā)生變化時(shí)，三角形的高度也會(huì)發(fā)生變化，從而得出三角形有三個(gè)不同的高度。同時(shí)，也將底與高是相對(duì)的、在一個(gè)三角形中應(yīng)有三組不同的底和高這一知識(shí)成功滲透。
　　3.讓學(xué)生量三角形的“高”（水平擺放），和生活中量身高的方法一樣，從最高點(diǎn)（即頂點(diǎn)）量到地面（即底），不能斜拉，尺子要和底垂直，把量的這條線畫(huà)出來(lái)就是“三角形的高”。學(xué)生根據(jù)“高”的本質(zhì)自己抽象出了“三角形的高”。
　　4.那另2條底上的高怎么畫(huà)呢？可以引導(dǎo)學(xué)生自己想辦法。比如要畫(huà)AC邊上的高，學(xué)生可能會(huì)想出“人動(dòng)三角形不動(dòng)”的辦法，如下圖：
　　學(xué)生還可能會(huì)想出“三角形動(dòng)人不動(dòng)”的辦法，只需把下圖左邊的三角形轉(zhuǎn)動(dòng)（或轉(zhuǎn)動(dòng)紙）到右邊三角形的位置：
　　這樣動(dòng)一動(dòng)、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)后，學(xué)生就能比較容易地畫(huà)出高了。熟練后，還應(yīng)提高要求，讓學(xué)生把轉(zhuǎn)的過(guò)程在頭腦中呈現(xiàn)，使“人不動(dòng)三角形也不動(dòng)”，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。
　　最后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較所畫(huà)的三角形的高，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)：三角形的“高”其實(shí)是一條線段，并且是垂線，就是從三角形的頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，這條線段就是三角形的高。這樣就抽象、概括出三角形“高”的定義了。
　　三角形的高歷來(lái)是教師公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)。在此之前，學(xué)生對(duì)高的認(rèn)識(shí)是在日常生活中積累的，是模糊的、膚淺的，非數(shù)學(xué)意義的。其實(shí)，數(shù)學(xué)中的“高”（包括三角形的高）與生活中學(xué)生接觸的“高”本質(zhì)是一樣的。在上述教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較不同表象的“高”，尋找、歸納出共性，抽象提煉出三角形“高”的定義，將學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)里的“高”重組和改造為數(shù)學(xué)層面的認(rèn)識(shí)。
　　四、 處理好簡(jiǎn)約定義與多元概念意象的關(guān)系
　　在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生獲得的并不是那幾句條文式的概念定義，而是豐富的、鮮活的概念意象。概念意象的這種豐富性與概念定義的簡(jiǎn)約性（概念定義僅僅是由若干詞語(yǔ)構(gòu)成的）構(gòu)成了鮮明的對(duì)照。在概念教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生以豐富的概念意象作支撐理解概念的簡(jiǎn)約定義，做到多元豐富與簡(jiǎn)約嚴(yán)密的有機(jī)統(tǒng)一。
　　【案例】《正比例》教學(xué)。
　　教師引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察、思考，得到成正比例的兩種量的一些多元特點(diǎn)：
　　①兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化；
　　②一種量擴(kuò)大，另一種量也隨著擴(kuò)大；一種量縮小，另一種量也隨著縮小；
　　③一種量擴(kuò)大幾倍，另一種量也隨著擴(kuò)大相同的倍數(shù)；一種量縮小幾倍，另一種量也隨著縮小相同的倍數(shù)；
　　
　　④這兩種量是相除關(guān)系；
　　⑤這兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定。
　　師：判斷下面題中的兩種量是不是成正比例的量。
　　（表格式呈現(xiàn)的兩種量四題，題略）
　　指名回答后，教師引導(dǎo)：誰(shuí)還有更簡(jiǎn)單省力的辦法？
　　著重引導(dǎo)學(xué)生審視成正比例的兩種量的多元特征，通過(guò)比較、辨析，使其明白：根據(jù)比的基本性質(zhì)（或商不變性質(zhì)），有特征③必有特征⑤，有特征⑤必有特征③，⑤和③兩者只要判其一即可，而一般情況下⑤比③易判，再加上有⑤必有④，有③必有②，因此判斷兩種量是否成正比例時(shí)只要考慮特征①和⑤，從而揭示出正比例的概念。
　　上述教學(xué)片斷中，教師在引導(dǎo)學(xué)生給正比例下定義的過(guò)程中，學(xué)生多角度、全方位地對(duì)成正比例的兩種量的變化規(guī)律進(jìn)行充分的感知、體驗(yàn)，在頭腦中形成豐富的表象。再通過(guò)比較、整合，形成簡(jiǎn)約的定義，巧妙地使豐富的概念意象與簡(jiǎn)約的定義相互聯(lián)系，有機(jī)地融合為一體。
　　五、 實(shí)現(xiàn)新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效融合
　　孤立的知識(shí)教學(xué)不可能建立起層次分明和聯(lián)系緊密的觀念系統(tǒng)。因此，新知識(shí)的教學(xué)不能孤