讓數學交流豐盈學生的思想

　　問題描述與再現
　　現象一：教師在課堂上與學生的交流是單向的，當一個問題提出以后，教師只與一個學生在交流，其他學生沒有主動介入交流與思考。
　　現象二：當教師請不同的學生將自己的想法說出來以后，請學生選擇“哪一種方法比較好？”“你最喜歡哪種方法？”時，學生沒有關注到其他方法的存在，都是選自己想出的方法。
　　現象三：學生答問以后，教師的評價語言永遠都是“說得很好”，“對的，請坐”，“不對”。
　　問題會診與分析
　　在目前的小學數學課堂教學中還存在著許多數學交流的問題：學生數學交流意識不強，不會表述自己的觀點，不會傾聽別人發言，小組討論交流流于形式，各層面學生交流機會不均等，學生交流指向單一等等。究其原因不外乎以下幾個：教師對課堂數學交流的重要性認識不足；有些教師雖然注重數學交流，但形式化比較嚴重，缺乏正確的指導；學生課堂數學交流意識淡薄；教材編寫缺少課堂數學交流的題材。為實現新課程提出的“數學交流”新理念，我們必須對目前數學教學中交流缺失的現象進行深刻反思。
　　案例一：學生“各抒己見”，互不接納
　　教學三位數乘兩位數的乘法計算，教師提供了一個情境：陽光小區有35幢樓，平均每幢樓住142戶。請學生根據情境圖中提供的數據提出數學問題“陽光小區一共住了多少戶？”并列出算式：142×35。
　　教師鼓勵學生用已有的知識和經驗獨立探索142×35的筆算方法。
　　學生在計算142×35時出現了不同的探索方法，教師請學生交流算法。
　　生1：我根據兩位數乘兩位數的筆算方法類推到三位數乘兩位數的筆算方法，直接列豎式計算。
　　生2：我是用2×35、40×35、100×35的結果求和來計算。
　　3：我是將它轉化成142×7×5計算。
　　（還有少部分學生不會計算。）
　　當上面三個學生“各抒己見”說算法的時候，其他未被點到名的學生各忙各的，他們也不看老師，也不聽同伴的發言，有的在看書，有的在玩橡皮，還有的在本子上畫些什么。只有教師在和被點到名的學生交流。
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　　本節課的教學重點是培養學生類比遷移的思維方法，幫助學生主動聯系已學過的乘法計算方法來類比探索三位數乘兩位數的筆算方法，體驗數學與日常生活的聯系，發展解決問題策略，增強應用數學的意識。以進一步體會知識之間的內在聯系，主動完善原有的知識結構。但上述案例中的學生在交流算法時，教師沒有引導其他學生有效介入和互動交流，造成只有教師和單個學生在交流，其余學生各忙各的，資源沒有共生，智慧沒能共享。
　　案例二：教師“一廂情愿”，單向評價
　　在教學素數和合數的概念之后，教師請學生自己想辦法尋找出100以內所有的素數。
　　結果有的學生是用一個一個排除的方法去找，找了5分鐘一半還沒找完；有的學生是將能被2、3、5、7整除的數（除2、3、5、7外）一個一個劃掉的方法找，認為剩下的數即是素數；還有的學生胡亂地找出一些，但不全面。
　　教師組織學生比較哪種方法比較好，學生說不上來。教師就一廂情愿地指出第二種方法比較好，再出示100以內完整的素數表。
　　本環節的教學主要是讓學生通過觀察、比較、分類，經歷素數表的研究與探索過程，學會發現問題，積極尋找解決問題的途徑和方法，感悟數學思考方法的獨特性和唯一性，感受數學學習的挑戰性，進一步積累數學活動經驗，豐富和發展學生的數感，形成問題解決的策略。但上述案例中，由于教師忽視了學生之間思維的碰撞和數學思考方法的交流，造成學生不懂原由地記住了100以內的素數，至于“用什么辦法比較方便？”“為什么用這種方法？”“怎么想到用這種方法的？”等問題，沒有組織學生在追問中質疑，學生失去了參與學習過程的機會。
　　教學策略與建議
　　數學交流是指數學信息接收、加工、傳遞的動態過程。數學交流主要體現在數學思想的表達、數學思想的接受和數學思想載體的轉換。對于數學課堂來說，是指數學學習與教學過程中使用數學語言、數學方法進行各類數學活動的動態過程。通俗地說，數學交流能力是：閱讀、傾聽和表達數學材料的能力。
　　一、 數學交流意識培養的意義及價值
　　數學教學應該重視數學交流的訓練和培養，使學生懂得將數學作為信息交流的工具，會使用數學（語言、思想、方法）進行交流，使所有的學生能夠組織和強化他們的數學思維以便與他人交流，連貫而清楚地向同伴、老師及其他人表達數學想法，通過思考他人的想法和策略擴展他們自己的數學知識，將數學語言作為一種數學表達的精確方式加以使用。其價值具體體現在以下幾個方面。
　　1.促進數學思考。數學交流能展示同伴之間的想法和觀點，不同觀點的碰撞和想法的啟迪，能引發學生產生新的數學思考，促進學生思維更深刻、更嚴密、更全面。
　　2.發展數學語言。數學交流以數學語言為載體和工具。要很好地進行數學交流，必須善于使用數學語言。數學語言是一種由數學符號、數學術語和經過改進的自然語言組成的科學語言。與自然語言相比，數學語言更具有一般、簡潔、精確和抽象等特性。學生在交流時必須借助一定的數學語言和工具，課堂上的交流為學生準確應用數學語言表達思想提供了機會，同時也能更好地發展學生正確理解概念的能力。
　　3.培養合作意識。交流需要同伴，傾訴需要對象。在數學交流中可以培養學生善于傾聽、樂于合作的學習品質，培養學生欣賞同伴、接納同伴的良好心理品質。
　　4.生成教學資源。數學交流中會不斷迸發新的觀點和想法，這些為教學資源的生成提供了可能性。教師可以根據學生的數學交流活動捕捉有效的教學資源生成新的研究過程。
　　5.積累活動經驗。數學交流的基礎是數學知識，數學知識不僅包括“客觀性知識”，而且還包括從屬于學生自己的“主觀性知識”，即帶有鮮明個體認知特征的個人知識和數學活動經驗。學生的數學活動經驗反映了他們對數學的真實理解，形成于學生的自我數學活動過程之中，伴隨著學生的數學學習而發展。數學交流為學生積累數學活動經驗提供了機會。
　　6.提高問題解決能力。通過數學交流可以完善問題解決的數學學習活動，通過問題解決可以使主體充分發揮自己的潛能，在實際情境中獲取和構造數學，而不是機械地復述數學。
　　7.良好的情感與態度。數學交流的情感動態表現于師生之間、生生之間在課堂內外的情感交流，它是伴隨著數學交流的知識形態的發生而同時展現的，由此我們可以培養學生學習數學的興趣，感受到數學的實用價值，在與人交流、共同探索的過程中，不怕挫折、鍛煉毅力、體驗成功，并學會與人合作。課堂數學交流中情感形態的表現形式有如下幾種情形：各方表現出對解決一類問題中的多個方法的選擇；各方在同一小組共同學習、互相解釋概念和程序；各方樂于做數學游戲；各方樂于發現數學應用的例子并做親身嘗試；各方對其他學生的情感和觀點表示尊重，不嘲笑或者為難學習較慢的一方；各方在交流中顯示出積極的態度，并通過自己的努力去認識和理解數學概念和原理。
　　二、 數學交流的基本教學策略
　　1.優化數學語言。數學交流的載體是數學語言，無論從學習數學的角度還是從使用數學的角度看，數學語言都有著極其重要的作用。提高課堂數學交流能力首先要培養學生的表達能力，能正確表達自己的思想，應用好數學語言。教學中教師要最大限度地發揮數學語言的科學性、邏輯性、嚴謹性等示范作用，努力使語言形象化、趣味化。盡力避免“這樣做怎么樣”、“對不對”、“好不好”等習慣問語，消除學生說“半截話”或者用一兩個字“好”、“不好”、“是”、“不是”、“對”、“不對”等簡單作答的語言環境。培養和倡導學生用“這個問題我是這樣想的……”、“關于這道題的解法我有一種方法想和大家交流……”、“我對你的想法有補充……”等語言方式來表達自己的想法，展示自己的觀點，交流自己的意見。
　　
　　例如在教學“最大公因數”時，教師呈現有關圖片后，誘導學生深入思考：符合要求的正方形地磚究竟有幾種？分別可以選擇邊長是幾分米的地磚呢？鼓勵學生暢所欲言，發表自己不同的觀點和想法:
　　（1）你認為可以選擇邊長是幾分米的正方形地磚？
　　（2）你是用什么辦法來解釋你的想法和觀點?
　　（3）這樣的正方形地磚可以有幾種情況？
　　（4）我會反思：
　　①在解決這一問題時，同伴可能會有什么困難？
　　②我們是怎樣解決這一題的，可以怎樣想？
　　③我們在解決這種問題時所學到的最重要的東西是什么？
　　教師引導學生經歷自主發現、動手操作、探索研究的過程，學會發現問題，積極尋找解決問題的途徑和方法，在交流中大膽地表達自己的觀點和想法，能主動與同伴合作、學習和吸納同伴的想法和觀點，引起思維的碰撞和共享，幫助學生豐盈知識，生長思想，形成多樣化的解決問題策略。
　　2.培養傾聽品質。良好的數學交流活動，需要交流雙方有良好的傾聽習慣。作為聽者要抓住三點：一聽其表達的大致過程，從總體上把握思考脈絡；二聽其采取的思維策略，采用的數學思考方法，這是數學的靈魂；三聽其表達的思想有沒有不嚴密或者錯誤的地方，隨時準備質疑或補充完善。問者可運用三種方法：一是質疑性提問，如“你講得我不太明白，能說得具體一些嗎?”二是反駁性提問，如“如果是這樣，用你的想法該怎么解釋呢?”三是誘發性提問，鼓勵學生發問并做出解釋。“這樣想有道理，但是怎么更簡捷些呢?”提問時應注意尊重對方，有理有據，合乎邏輯。例如，教學求30和45的最大公因數時，學生相互提問質疑：為什么將3和5分別去作除數？你是怎么想的？為什么求最大公因數時要把公有的質因數相乘？
　　3.鼓勵互動評價。評價能促進學生數學交流能力的提高和良好學習心理品質的形成。師生之間真誠的評價對于兒童自我意識的發展有著重要的導向和激勵功能。一方面，正確的鼓勵和贊賞能滿足學生的自尊，幫助學生正確認識自我，樹立學習的信心；另一方面，及時客觀的評價具有診斷和調控的功能，真誠的批評和委婉的否定，能使學生正確面對自己的錯誤，調整自己的思維方向和解題策略。例如，在教學制作100以內素數表時，可以鼓勵學生相互交流和評價：你自己是怎么畫的？怎么會畫得這么吃力？同伴的好方法是什么？你聽了他的發言，受到什么啟發，又有什么感想？
　　4.形成和諧氛圍。數學交流要求課堂具備平等、自由、相互接納的和諧氛圍。因此，創建一個良好的外部交流環境是必不可少的條件。師生關系的融洽與否，會對課堂的教學氣氛產生直接的影響，從而對學生的交流程度產生重要作用。愉快和諧的課堂氛圍可以有效地調動學生學習的積極性。教師首先要關愛學生，只有愛學生才能教好學生。其次，教師尊重學生，與學生平等相處，是師生之間數學交流得以順利進行的關鍵。數學課堂是小型的數學學習共同體，形成和諧的交流氛圍是靠平等來編織的。教師要以生為友，并教育學生尊重他人，促進共同體所有成員互相信任、平等交流，共同營造一個有利于真誠交流的穩定、平衡、持久、和諧的交流環境。再次，學生之間相互尊重、友好相待，是學生之間數學交流得以和諧發展的基礎。學生之間相互交流信息，可以形成個體和群體的理念。當學生公布自己的解釋時，別的學生有機會就這些解釋提出新的疑問，或者提出新的解釋，從而引發新的問題，導致進一步的探究活動，甚至把問題的交流延伸到課外。這樣的數學交流，充滿哲理和彈性，富于張力，耐人尋味。課堂上常用的數學交流方式有：你是怎樣想的？誰的方法與你的相同？你聽懂了誰的方法？猜一猜這位同學在做的時候是怎樣想的？解決這樣的問題有什么要提醒同伴的？
　　5.豐盈數學思想。例如教學“32名同學參加學校乒乓球淘汰賽，決出最后的冠軍需要賽多少場？”一題，學生在交流中想出了多種豐富多彩的答案。
　　生1：我們是用列舉的方法，既然是淘汰賽，第一輪要比16場，第二輪要比8場，第三輪要比4場……，所以一共要比16＋8＋4＋2＋1＝31場。
　　生2：我們也算出要賽31場，不過我們的想法是每一輪的比賽場數總是上一輪場數的一半，以此類推，也可以用“16＋8＋4＋2＋1”算出有31場。
　　師：你能從別人的發言中發現規律的相同點，并巧妙地解決問題。
　　生3：我們組的想法和他們不同。32人比賽人數太多有點復雜，思考起來有些困難。于是我們從較小的數著手分析。通過研究，我們發現2人需要賽1場，3人需要賽2場，4人需要賽3場……不管多少人比賽，場次數總比人數少1