聯想或追溯

　　解題能力是數學學習能力的主要指標之一，思路阻塞、一籌莫展則是解題過程中的常見現象。如何通過課堂教學的有效訓練，引導學生把握正確的解題思路，對于學生養成良好的思維習慣，形成嚴謹縝密的思維風格，具有非常積極的意義。
　　“由因導果”和“執果索因”是數學解題中兩種最基本的解題思路。“由因導果”就是從題目的已知條件出發，以定義、定理為依據，一步一步地推出所需要解決的問題，也就是所謂的“綜合法”；“執果索因”即從所求問題入手，找到所需要的依據和條件，進而解決問題，這就是所謂的“分析法”。
　　綜合法和分析法在解題思路中是一組可逆的過程。綜合法和分析法作為專業的數學學習術語，在小學數學教學中，難以作為掌握解題思路的學習方法進行訓練。我們抓取“綜合法”和“分析法”的本質特征，把“聯想”和“追溯”作為兩種基本的解題思路，通過一段時間的專項強化訓練，達到明晰解題思路、靈活應用解題策略的目的。
　　在訓練解題思路的實踐過程中，我們逐漸認識到，無論“聯想”思路還是“追溯”思路，雖說都有其自身的優越性和局限性，但是兩者不可偏廢或者說缺一不可。兩種思路的選擇與綜合既和所解決問題的特點密切相關，也決定于學生個體的思維習慣和主觀傾向性。我們首先要做的，就是讓學生熟練掌握兩種解題思路，同時理解兩種思路的優越性和局限性，最后是對兩種思路進行優選、綜合及自動化應用。
　　我們通過讓學生“說出解題思路或者畫出思路圖”的訓練，最終經由“思維的方向”歸納出“聯想”與“追溯”兩種基本思路。最初的提醒為“你準備從哪里入手解決這個問題”“你是怎么想的”。最后，只要我們提示“你是聯想還是追溯”，學生們就都能清醒地意識到自己的思維脈絡。第一步工作就算完成了。
　　接下來，我們要讓學生們理性地認識這兩種思路的優缺點。
　　在學生們選擇“聯想”思路解決問題時，如果我們追問一句“你為什么這么想呢”，就會經常聽到這樣的回答：“我記得的，這種問題以前見過呀！”由此，我們可以知道，聯想思維較多地以經驗思維為依托。但是杜威認為，“經驗思維有三個明顯的缺點：它具有引出錯誤的傾向；它不能適用于新異的情境；它具有形成懶惰和教條主義的傾向。”
　　在“聯想”思路中，如何保證由已知條件推出的結論中哪一些才能成為所求問題需要的條件？某些優秀學生的做法是，選擇那些與問題聯系較緊密的或者由已知條件派生出的共同結論作為解決問題的條件。即使這樣，在向目標推進的過程中，還是不可避免地有引向歧路的可能，從而消耗了精力。
　　“追溯”思路的突出特點是以需要為前提的輻合思維，其功利性特強。因為目標明確，在尋找條件的過程中，只要依據確鑿，搜集到為我所用的信息即可達到解決問題的目的。但是解決問題的方法往往不止一個，在追溯的過程中，我們所找到的那一條路也許并不通向問題的起點，中間有斷線的可能。同時也有人認為，追溯思路不利于發散思維和創造性思維的培養。
　　杜威說過：“在某些情況下經驗思維是有用的。”他甚至認為，教育的定義應該是經驗的解放和擴充。他將“經驗的思維”與“科學的思維”相對舉，只是告誡我們不要圉于經驗的局限性。在聯想思路中，我們也遇到同樣的矛盾：聯想以經驗為依托，經驗也是發散性思維不可離棄的土壤。我們只有這樣來理解：經驗以記憶為基礎，學習過程一定程度上就是一個經驗累積的過程，完全沒有“經驗”的學習將是不可想象的。嬰兒是以他人的經驗為經驗，一步一步模仿得到自己的經驗；成人已經超越了經驗的模仿，理性學習成為積累經驗的主要途徑。所以，我們絕對不可因為經驗思維“缺點多多”，而忽視“經驗”之雄厚而強大的基礎作用。
　　有過數學解題經驗的人都知道，解決復雜問題的時候，單一的“聯想”或“追溯”有時候并不一定能夠達到目標。在對解題思路優選綜合的過程中，究竟哪些能力是不可或缺的？或者說，又有哪些能力能夠幫助我們靈活把握解題思路呢？
　　小學數學解題思路的訓練實踐讓我們對以下問題有所思考：
　　一是思路的轉向能力。我們經常會發現，有一部分學生面對要解決的問題并非不能夠集中精力，無論是選擇“聯想”還是“追溯”的解題思路，總是一條道走到黑，即使遇到什么阻力也是死命地鉆牛角尖，這樣當然不利于問題的解決。我們可以作一個比喻，當年詹天佑主持修筑京張鐵路，居庸關和八達嶺隧道的開鑿方法很有創造性。居庸關隧道巖層很厚，就采用兩端同時鑿進的方法；為了縮短工期，八達嶺隧道還采用了“中部鑿井法”，從中間再向兩邊分別推進。我們面對要解決的問題，完全不必要拘泥于“聯想”還是“追溯”，所謂思路靈活，就是要有迅速的轉向能力。
　　二是策略的反思能力。解題策略的選擇直接決定了解題思路的調整。選擇“畫圖、列表、列舉策略必然遵循“聯想”思路；選擇倒過來推想、替換、假設的策略基本上遵循“追溯”思路，而選擇轉化策略，解題思路有可能雙向發展。解題策略的選擇依賴于對問題情境特征的直觀把握，所以經常性的策略反思有助于明晰問題的情境特征，從而提高解題思路的準確性。
　　三是語言的抽象能力。情境認知學習理論提倡：“鼓勵學生通過鐫刻系統使他們自己的思維可視化，通過參與辯論活動交流他們的觀點，通過采用更科學的標準——這些標準通過所運用的工具得以提升——朝向對于問題更為統整的理解而努力。”“聯想”或“追溯”解題思路的訓練過程，首先是語言的抽象過程，是說出或寫出解題思路（而不是解題過程），也即思維可視化的過程。在課堂教學中，多數情況下，我們采用“說思路”的方式。生活語言向數學語言的有效“統整”固然離不開語言在可理解情境下的高度抽象，所以，如何提高語言抽象能力可以成為解題思路訓練的著力點。
　　（責編黃桂堅）