慣性力解析

　　摘 要： 慣性是物理學(xué)中最基本的概念之一。由于牛頓運動定律只在一定的參考系中成立，因此在經(jīng)典物理學(xué)課程中都對慣性系與非慣性系、牛頓力與慣性力加以區(qū)分。從慣性力的引入及慣性力的性質(zhì)出發(fā)，可對慣性力有更深的認識。
　　關(guān)鍵詞： 慣性 慣性力 慣性系 非慣性系 保守力
　　
　　1.引言
　　慣性是物理學(xué)中最基本的概念之一，也是學(xué)習(xí)物理學(xué)最早遇到的概念之一。這一極為普通和基本的概念曾經(jīng)引導(dǎo)許多物理學(xué)家深入思考和剖析。由于牛頓運動定律只在一定的參考系中成立，因此在經(jīng)典物理學(xué)課程中都對慣性系與非慣性系、牛頓力與慣性力加以區(qū)分，但在不同專業(yè)的經(jīng)典物理教學(xué)中對這個問題的處理是不同的。在物理專業(yè)的力學(xué)礎(chǔ)中只介紹牽連平動慣性力和牽連慣性離心力；在理論力學(xué)教學(xué)中則介紹了慣性力的概念；而大多數(shù)普通物理的教學(xué)中卻未引入慣性力定義，只是在近幾年的一些基礎(chǔ)物理教材中才有慣性力的介紹，但幾乎都未對慣性力的性質(zhì)進行深入探討。本文在經(jīng)典力學(xué)的范圍內(nèi)，對慣性力存在的原因和保守特性進行了討論，并對慣性力的應(yīng)用和慣性力場進行了探討。
　　2.慣性系及慣性力的引入
　　運動的描述是相對的，對于不同的參考系同一物體的運動形式是相對的，對于不同的參考系同一物體的運動形式可以不同。盡管如此，相對于任意參考系，運動的描述都是有意義的，因而如果問題只涉及運動的描述，那么完全可以根據(jù)研究問題的方便任意選擇參考系。但是問題如果涉及運動和力的關(guān)系，即要應(yīng)用牛頓定律時，是否也可以任意選擇參考系呢？
　　先看下面的這個例子：站臺上停著一輛小車，相對于地面參考系，小車停著時，加速度為零，是因為作用在它上的力相互平衡，即合力為零的緣故，這符合牛頓定律。如果從加速啟動的列車內(nèi)觀察這小車，即相對于作加速運動的車廂參考系來分析小車的運動將發(fā)現(xiàn)小車向車體前進相反的方向作加速運動，而它的受力情況并沒有改變，合力仍然為零。合力為零而有了加速度，這是違背牛頓定律的，因此相對做加速運動的車廂參考系，牛頓定律不成立。
　　這樣，在有些參考系中牛頓定律成立，而在另外一些參考系中牛頓定律不成立。實際上，牛頓定律在慣性參考系中才成立，慣性參考系就是牛頓第一定律定義的參考系，在此參考系中，一個不受力作用的物體將保持靜止或者勻速直線運動。
　　慣性系有這樣一個重要的性質(zhì)，即如果我們確認了某一參考系為慣性系，則相對于此參考系做勻速直線運動的任何其他參考系也一定是慣性系，這是因為如果一個物體不受力作用時相對于那個原始慣性系靜止或做勻速直線運動，則在任何相對于這原始慣性系做勻速直線運動的參考系中觀測，也必然做勻速直線運動或靜止，這也是在不受力作用的情況下發(fā)生的。因此根據(jù)定義，后者也是慣性系。
　　在實際問題中常常需要在非慣性系中觀察和處理物體的運動，如上所述，在這樣的參考系中牛頓定律是不成立的，但是為了方便，我們常常利用牛頓第二定律分析問題，為此我們引入了慣性力這一概念。
　　首先我們討論加速平動參考系的情況。設(shè)有一質(zhì)點，質(zhì)量為m相對某一慣性系S，它在實際的外力作用下產(chǎn)生加速度a，根據(jù)牛頓第二定律有
　　F=ma（1）
　　設(shè)想有另一參考系S′，相對于慣性系S以加速度a平動。在S′參考系中，質(zhì)點的加速度是a′由運動的相對性可知
　　a=a′+a（2）
　　將（1）代入（2）中可得F=m（a′+a）=ma′+ma，質(zhì)點受的合外力F并不等于ma′，因此牛頓定律在參考系S′中不成立。但是如果我們認為在S′系中觀察時，除了實際的外力F外，質(zhì)點還受到一個大小和方向由（-ma）表示的力，并將此力計入合力之內(nèi)得
　　F+（-ma）=ma′（3）
　　則（3）就形式上理解為在S′系內(nèi)觀察質(zhì)點所受的合外力也等于它的質(zhì)量和加速度的乘積。因而也就可以在形式上應(yīng)用牛頓第二定律了。
　　為了在非慣性系中形式地應(yīng)用牛頓第二定律而必須引入的力叫做慣性力。由（3）可知在加速平動參考系中，慣性力的大于等于質(zhì)點的質(zhì)量和該非慣性系相對于慣性系的加速度的乘積，而方向與此加速度的方向相反。則有慣性力的定義式
　　F=-ma（4）
　　引入了慣性力，在非慣性系中我們就有了下述的牛頓第二定律的形式
　　F+F=ma′（5）
　　慣性力F是形式上的“假想的”力，真實的力有施力物體，慣性力沒有施力物體。它是參考系的非慣性運動的表現(xiàn)形式，或者說是物體的慣性在非慣性系中的表現(xiàn)。它不是物體間的相互作用，也沒有反作用力。因此慣性力又稱作虛擬力。
　　例：在水平軌道上有一節(jié)車廂以加速度a行進，在車廂中看到有一質(zhì)量為m的小球靜止地懸掛在天花板上（見圖1），試以車廂為參考系求出懸線與豎直方向的夾角。
　　解：在車廂內(nèi)觀察小球是靜止的，即a′=0，它受的力除了重力和線的拉力外，還有一慣性力F=-ma，三力平衡。
　　相對于車廂參考系，對小球用牛頓第二定律則有
　　x′方向：Tsinθ-F=ma′=0
　　y′方向：Tcosθ-mg=ma′=0
　　將F=ma代入上式，消去T，可得θ=tan（a/g）。
　　慣性力和相互作用力不同。首先，慣性力不是相互作用的，不存在慣性力的反作用力；其次，無論在慣性系還是非慣性系中，都能觀測到相互作用力，但只有在非慣性系中才能觀測到慣性力。
　　3.保守力的概念的回顧與總結(jié)
　　在物理學(xué)中經(jīng)常遇到這樣一些力，它們對質(zhì)點所做的功與質(zhì)點所經(jīng)過的路徑無關(guān)，而只與質(zhì)點的初、末位置有關(guān)，我們把這種力稱為保守力。如果作用在質(zhì)點上的力在質(zhì)點的無窮小位移中所做的元功能夠?qū)懗赡骋粯肆亢瘮?shù)的全微分，即
　　F·dr=dU（6）
　　則此力F定是保守力。因此，保守力在質(zhì)點運動的一段路程上所作總功等于函數(shù)U在路徑的終、初位置的值之差，即
　　?蘩F·dr=U-U（7）
　　如果質(zhì)點沿封閉軌道運動，則作用于質(zhì)點上的保守力沿封閉路徑對質(zhì)點所做總功為零，即?蘩F·dr=0也可以用此力的旋度表示為
　　?塄×F=0（r=0點除外）（8）
　　因此，一般的，如果作用在質(zhì)點上的力是一個與時間及質(zhì)點的運動速度無關(guān)的力，那么這個力才可能是保守力。如果力或它的各個分量僅為位置坐標的函數(shù)，又滿足（6）式或（8）式時，它才是保守力。
　　例如，質(zhì)點在地面附近所受的重力mg，方向豎直向下，以地面為坐標豎直向上為Z軸方向，則重力的元功mg·dr=-mgdz=d（-mgz）可寫成-mgz的全微分，故重力是保守力。彈簧的彈性力也是保守力，此外，萬有引力、靜電場力等均屬保守力。
　　4.慣性力是保守力還是非保守力
　　在有些情況下，在非慣性系中出現(xiàn)的一些慣性力也表現(xiàn)出保守力的特點，可當作保守力處理。
　　4.1在直線加速平動的非慣性系中，如果非慣性系的平動加速度是常矢量（a=a′常矢量），即質(zhì)點所受的慣性力是一常矢量（-ma），則在非慣性系中研究問題時，可將此慣性力F當作保守力來處理。因為在非慣性系中，F(xiàn)是一個常矢量，所以有?塄×F=0?？梢妱蜃兯僦本€運動的平動參考系中的慣性力可當作保守力處理。
　　4.2設(shè)S′系相對于慣性系S系具有的平動加速度a為變矢量:a=a（t）。雖然此時的慣性力場為無旋場，具有勢函數(shù)，但慣性力F=-ma=F（t）為顯含時間t的變量，因此這時的慣性力場為一瞬變場，其等勢面僅瞬時意義。因做功過程是在一定時間內(nèi)完成的，在運用積分計算慣性力F做功時不能將時間參數(shù)t固定，所以質(zhì)點在慣性力場中運動時，慣性力F做的功并非等于勢函數(shù)的增量。因此該慣性力場不是保守力場。此種情況的慣性力F不是保守力。
　　4.3在定軸轉(zhuǎn)動的加速參考坐標系中，設(shè)S′相對于慣性系S系以均角速度ω定軸轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m的質(zhì)點受到的慣性力F為慣性離心力F和科里奧利力F之和，即
　　F=F+F=-mω×（ω×r）-2m（ω×U）（9）
　　式中的科里奧利力F垂直于相對速度U，即垂直于位矢微元dr，所以質(zhì)點在整個運動過中科里奧利力F不做功。
　　4.3.1對于-mω×（ω×r）取旋度
　　因為ω×（ω×r）=ω（ω·r）-ωr
　　所以?塄×［ω×（ω×r）］=?塄×［ω（ω×r）-ωr］
　　?塄×ω（ω·r）-?塄×ωr
　　ω?塄×r-ω?塄×r=0
　　結(jié)果表明，慣性離心力是由于轉(zhuǎn)動引起的，在S′系中它是保守力。
　　4.3.2對-2m（ω×U）取旋度
　　?塄×（ω×U）=（U·?塄）ω-（ω·?塄）U+ω（?塄·U）-U（?塄·ω）
　　≠0（10）
　　結(jié)果表明，科里奧利力為非保守力，它由參考系S′的轉(zhuǎn)動及質(zhì)點在S′系中運動引起的。不能簡化為某一勢函數(shù)U的梯度。
　　綜上所述，通常所指的慣性力就是以上四種慣性力的統(tǒng)稱，因此，不能說慣性力就是非慣性系所具有的屬性，也不能說慣性力是保守力，或是非保守力。
　　例題：證有心力是保守力。
　　在極坐標系中，力的分布和幅角θ無關(guān)；F=F（r）是具有對稱性的有心力場，根據(jù)dA=Fdr+Fdθ知僅徑向力做功，質(zhì)點自r沿某曲線運動至r場力的功為
　　A=?蘩F（r）dr（11）
　　積分結(jié)果僅取決于上下限，即始末位置，故有心力場的功也與路徑無關(guān)，因此有心力也是保守力。
　　
　　參考文獻：
　　［1］王少杰，顧牡.大學(xué)物理學(xué).清華大學(xué)出版社，2006.12.
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