巧設鋪

　　摘 要： 如何減輕學生過重的課業負擔，全面提高教學質量？這個問題始終困撓著廣大數學教師。作者認為關鍵在于優化課堂教學，而成功的課堂關鍵在于難點真正得到突破，日常的教學實踐證明巧設鋪墊是化解難點的有效方法。作者圍繞如何巧設鋪墊化解難點談一些策略。
　　關鍵詞： 初中數學課堂教學 巧設鋪墊 化解難點 策略
　　
　　如何減輕學生過重的課業負擔，全面提高教學質量？這個問題始終困繞著廣大數學教師。經常會聽到老師們抱怨：都講了好幾遍了，不會做的還是不會做。我也有過類似的彷徨，但是后來在日常的教學實踐和教研反思中，我發現課堂中沒能很好地突破難點是最直接的原因。基本上每個老師都能很好地把握重點，但在難點的處理上常常蜻蜓點水，一筆帶過。而數學教材上的難點恰恰直接影響學生對新知識的理解和掌握，中等成績的學生掉隊也往往就是這些難點逐步積累所造成。所以在初中數學課堂教學中如何選用恰當的方法，真正突破難點，優化課堂教學，這是全面提高教學質量的關鍵，實踐證明巧設鋪墊是化解難點的有效方法。我就圍繞如何巧設鋪墊化解難點談一些策略。
　　一、情境鋪墊，弱化難點
　　教育家第斯多惠說：“教育的藝術不在于傳播的本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞學生的一種教學藝術。”創設具體、生動的課堂教學情境，正是激勵、喚醒和鼓舞學生的一種教學藝術。情境之于知識，猶如湯之于鹽。鹽需溶入湯中，才能被吸收；知識需要溶入情境之中，才能顯示出活力和美感。 好的情境鋪墊能激發學生的學習興趣和學習欲望，使學生產生與新知的認知沖突從而弱化難點。
　　案例：學完解直角三角形后，很多學生對測量物高的方案設計感到頭疼，尤其語言表達更是困難，于是我設置以下情境作為鋪墊，取得了不錯效果。
　　情境1：小明欲測量校園內操場上一棵樹的高度，因樹木高無法直接測量，你能幫他想想辦法嗎？
　　學生因為在相似三角形中有過測量河寬、樹高的經驗，所以很好地勾起了他們對舊知識的回憶，不少同學回答了利用測樹影、平面鏡反射等用相似來解決的方法。我及時給予肯定，并讓大家進一步思考：
　　情境2：如果他手頭上只有一副教學用的三角板和卷尺可供使用，那又該怎么辦呢？反應快的同學仍舊想到圖2所示方法，我給予了表揚，并啟發大家思考，如果不利用相似你能辦到嗎？學生陷入了沉思，之后陸續有同學想到圖3的方法，我讓大家根據示意圖，寫出樹高的計算式，并提供如下情境：
　　情境3：如果小樹在圍墻的外面，利用測角儀和卷尺，能測量出樹的高度嗎？請畫出示意圖，并寫出計算公式。
　　通過情境2的思考，大家已勾起對解直角三角形的相關知識的回憶，同學們興趣盎然、躍躍欲試，很快相當多的同學得到了如圖4所示的測量方案，趁熱打鐵，我給出情境4以更好地鞏固今天所學知識。
　　情境4：校數學興趣小組同學打算去測量摸某塔的高度，他們帶了以下工具：（1）皮尺一根；（2）教學三角板一副；（3）高度為1.5米的測角儀（能測仰角和俯角的儀器）一架。若測量的鐵塔位于河的對岸，人又無法直接到達對岸，該如何設計測量方案？
　　總之，教師要善于引導學生從各自的生活經驗和數學積累出發，進行積極的、獨特的思考，從新鮮有趣的素材和情節中發現和提出數學問題。問題情境的創設要小而具體、新穎而有趣、具有啟發性，同時又有適當的難度，與課本內容保持相對一致。教師要善于將所要解決的問題寓于學生實際掌握的知識基礎之中，造成心理上的懸念，把問題作為教學過程的出發點，以問題情境激發學生的積極性，讓學生在迫切要求下學習，從而達到激發學生積極性的目的。這樣，以情境為起點的數學學習才能有效地展開，才能更好地弱化難點，使我們的數學課堂教學煥發出生命的活力。
　　二、題組訓練，分化難點
　　心理學告訴我們，過難和過易都會使學生興趣索然，思維停滯。應用題教學中，由于應用的結構和數學關系比較復雜，學生學習起來比較困難。教學時，可巧設題組作為鋪墊，化難為易，掃除學生的思維障礙，自覺能動地使學生的思維散點集中，并在錯綜復雜的數量關系中尋找必要關系，確定解題方法。
　　案例：（八年級下2.3一元二次方程的應用（2））一輪船以30 km/h的速度由西向東航行（如圖），在途中接到臺風警報，臺風中心正以20 km/h的速度由南向北移動。已知距臺風中心200 km的區域（包括邊界）都屬于受臺風影響區。當輪船接到臺風警報時，測得BC=500km，BA=300 km。
　　（1）如果輪船不改變航向，輪船會不會進入臺風影響區？你采用什么方法來判斷？
　　（2）如果你認為輪船會進入臺風影響區，那么從接到警報開始，經多少時間就進入臺風影響區？
　　（3）如果把航速改為10km/h，結果怎樣？
　　分析：難點在于以下三點：
　　a.是否受到影響的決定因素在于船距臺風中心的距離及臺風中心的影響半徑；
　　b.多個動點同時運動；
　　c.解釋求出的兩個時間點的狀態。
　　針對以上三點，采取以下措施，作為鋪墊：
　　鋪墊1：（課本作業5）：如圖，在△ABC中，∠B=90°，點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動。如果P、Q分別從A，B同時出發，經過幾秒，△PBQ的面積等于8cm？
　　鋪墊2：聯系實際，學校旁邊剛好有一條高速公路，學校到公路的距離是150米，若重型汽車在行使時會對周圍200米的范圍產生噪聲影響，試問當汽車經過時，學校會受到汽車噪聲的影響嗎？你怎么判斷的？若安裝隔音板減少噪音的影響，需要在多長路段上安裝？
　　分析：鋪墊1的作用是讓學生體會兩個動點在運動時之間的距離的變化，鋪墊2的作用是針對難點1和難點3的，經過鋪墊，學生逐一解決了以上三個難關，也就自然地突破了“臺風問題”的難點。
　　三、分層教學，消化難點
　　將難點分成若干個容易一點的問題，在教師的指導下學生通過解決簡單問題的基礎上逐步解決比較難的問題，并且讓各類學生均有輸出信息的機會。通常在講授知識時，提問中等生，利用他們在認識上的不完善，把問題展開，進行知識的研究；在突破重、難點或概括知識時，發揮優生的作用，啟發全體學生深刻理解，幫助他們進一步理解知識，這樣能夠較好地解決教材的統一性和學生個性差異的矛盾，使難點分層得到消化。
　　例：如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（－2，0），連接OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉120°，得到線段OB。
　　（1）求點B的坐標。
　　（2）求經過A、O、B三點的拋物線的解析式。
　　（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由。
　　（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由。（注意：本題中的結果均保留根號）
　　分析：這是一個綜合性很強的問題，對學生的能力要求較高，尤其第3小題，更是學生的難點所在。對此，我作了以下鋪墊：
　　鋪墊1：如圖，有一條小河邊有A、B兩個村莊，
　　（1）在河岸邊找一點P到A、B兩村的距離相等；
　　（2）在河岸邊找一點Q到A、B兩村的距離之和最短。
　　鋪墊2：如圖，A是半圓上一個三等分點，B是弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，求AP+BP的最小值。
　　分析：通過鋪墊1喚醒學生對基本知識點的回憶，鋪墊2則是這一知識在不同的問題情境中的運用，如果沒有這兩題題作階梯，而直接解題，學生就會感到迷惘。有些課題需要的舊知識較多，要查漏補缺，為講新課掃清障礙。有了合適的階梯，學生對解決原問題就不再棘手。
　　
　　四、類比聯想，轉化難點
　　類比推理是指從兩個（或兩類對象）具有某些相似或相同的屬性的事實出發，推出其中一個對象可能具有另一個已經具有的其他屬性的思維過程。類比推理又稱為類比，有時也稱為類比方法或類推方法。在數學中存在著許多彼此相似的系統。這種相似的現象正是類比的思維基礎；數學中有各種形式的數學類比；邏輯類比和直覺類比是數學類比的基本形式。類比和聯想是中介思維的主要形式。在數學的發現和數學學習中，類比（思維）常常需要同歸納、聯想一起協同作戰。類比法也是數學學習中一種有效的認知策略。學生的類比推理能力需要在數學活動中形成和發展。在數學教學中注意廣泛應用“類比聯想拓廣性原則”，即在獲得了各個特殊的模式或方法后，應當努力通過類比聯想去拓廣已有的結果。在數學教學中，應在“類比聯想拓廣性原則”的指導下運用“類比教學模式”進行教學設計，以更好地突破難點。
　　案例：一條30米寬的河上架有一半徑為25m的圓弧形拱橋，請問一頂部寬為6米且高出水面4米的船能否通過此橋，并說明理由。
　　我在實際教學時，首先展示了以前學過的二次函數的一個實際問題：“如圖，一拋物線型拱橋，拱頂O離水面高4米，水面寬度AＢ＝10米，現有一竹排運送一只貨箱欲從橋下經過，已知貨箱長10米，寬６米，高2.55米（竹排與水面持平），問貨箱能否順利通過該橋？”
　　分析：表面上看，這兩題所用的知識點完全不一樣，但在解決的方法上是相同的，即允許已知寬度的船通過，則它的高度有何限制？或允許已知高度的船通過，則它的寬度有何限制？學生對用二次函數怎么解決已經比較熟練，可以自然地聯想到解決的方法，為用圓的知識來解決這一問題作好了鋪墊，也就分解了難點。
　　五、變式教學，深化難點
　　變式教學可以使學生對問題解決過程及問題本身的結構有一個清晰的認識，能使學生深刻理解概念、定理、公式的本質特征，也能有效地幫助學生積累解決問題的經驗和提高解決問題的能力。因此變式教學是化解難度的有效途徑，是一種行之有效的教學方式。
　　案例1（以下是我在教《解直角三角形的應用》時的片段教學設計）
　　例：如圖，一段河壩的斷面為梯形ABCD，AD坡度按i=1∶1.5，BC坡度按i=1∶2，把頂寬CD=4m，壩高4m。根據現有題干你能設計出哪些可求問題？
　　運用拓展（變式一）：
　　如圖：若大壩坡度不變現要把大壩加寬2m，求加寬部分的橫斷面積？
　　運用拓展（變式三）：
　　如圖：將大壩加寬2m，AD坡度變為i=1∶2，求加寬部分的橫斷面積？
　　坡度問題是一個很有實際意義的問題，如果在教學時只注重對例題的分析和解答，學生往往只是聽得懂，自己獨立面對時卻困難重重，我把原例題改成了一個開放式的問題，起點低，興趣就濃，他們設置的問題很多，包括求α的度數，求AD、BC、AB的長，以及梯形ABCD的面積，這就達到解直角三角形的目的，通過變式教學，學生就把堤壩問題搞清楚了，很好地深化了難點。
　　案例2：如圖，正方形ABCD的邊長為3，AB、AD上各有一點P、Q，△APQ的周長為6，求∠PCQ。為了解決這個問題，我們在正方形外以BC和AB的延長線為邊作△CBE，使得△CBE≌△CDQ。
　　（1）△CBE可以看成是由△CDQ怎樣運動變化得到的？請你描述這一運動變化；
　　（2）圖中PQ與PE的長度是相等的，請你說明理由；
　　（3）說明△PCQ≌△PCE；
　　（4）請用以上的結論，求∠PCQ的度數。
　　變式：如圖，正方形ABCD（四個角都是直角，四條邊都相等）的邊AB，AD上各有一點P、Q，PQ=DQ+PB，求∠PCQ。為了解決這個問題，我們在正方形外以BC和AB的延長線為邊作△CBE，使得△CBE≌△CDQ。
　　（1）△CBE可以看成是由△CDQ怎樣運動9I/V3WmoyT7oUZPPGr6Jw+thGo4emIxsCDdbeooNhiw=變化得到的？請你描述這一運動變化；
　　（2）圖中PQ與PE的長度是相等的，請你說明理由；
　　（3）請用（1）或（2）中的結論說明△PCQ≌△PCE；
　　（4）請用以上的結論，求∠PCQ的度數。
　　教師在課前充分挖掘教材資源，在課堂中利用變題引導學生去探索，甚至讓學生自己變題，學生會非常樂意進入數學的世界。這樣不僅能鞏固知識，挖掘不同知識點的聯系，而且對開拓學生的思維和視野，有事半功倍的作用。當然也要注意把握變的廣度和深度，要符合課程標準的要求，更要符合學生的認知特點，這樣才能收到更佳的效果。
　　后續研究方向：
　　（1）對既是重點，又是難點的突破策略研究；
　　（2）對既是課堂難點，又是章節難點的突破策略研究。
　　蘇霍姆林斯基說：“給學生能借助已有的知識去獲取新知識，這是最高的教學技巧之所在。”鋪墊的目的就是為學習新知識搭橋、鋪路，為學習新知識掃除各種障礙，以便更好地“以舊引新，以舊促新”。“好的鋪墊是新課成功的一半”為切實減輕學生過重課業負擔，全面提高課堂教學質量，我們必須在難點的突破上下功夫，中學數學教學難點的解決，最終目的是讓學生自己有能力面對問題、解決困難，所以，在數學教學中，應該從學生的實際出發，先設計一些簡單問題作為鋪墊，以分散難點，降低難度，逐步引入正題，使學生易于理解和掌握。鋪墊，相當于大橋的引橋，給學生以方便。同時要注意并不是所有問題都需要鋪墊。使用鋪墊時，應根據具體情況，區別對待。綜上所述，我們要在“巧”字上作文章，千方百計使“鋪墊”成為課堂中一道靚麗的風景。
　　
　　參考文獻：
　　［1］王守恒等主編.教育學新論.中國科學技術大學出版社，2004.
　　［2］李秉德.教育科學研究方法.人民教育出版.
　　［3］王海燕.新課程的理念與創新.北京師范大學出版社，2003，3.
　　［4］歐陽芬.有效教學的基本功（1—7冊）.世界圖書出版社，2009，7，（1）.