換元法在解題中的應(yīng)用

　　摘 要： 換元法作為一種重要的數(shù)學(xué)方法，在求解數(shù)學(xué)中的某些問題時可以找到解答的簡捷途徑，收到事半功倍的效果。 本文將從因式分解、不等式證明和求值問題這三個方面來研究換元法在數(shù)學(xué)解題中的巧妙應(yīng)用。
　　關(guān)鍵詞： 換元法 因式分解 不等式證明 求值問題
　　
　　隨著科學(xué)技術(shù)的日益數(shù)學(xué)化，各門學(xué)科對數(shù)學(xué)的要求也日益提高。換元法作為一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，可以通過變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，將非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化。使用換元法，很多問題往往會迎刃而解。
　　1.巧用換元法分解因式
　　用換元法分解因式，它的基本思路就是將多項式中的某一部分用新的變量替換，從而使復(fù)雜的問題得到簡化。以下列舉出幾種應(yīng)用換元法分解因式的形式。
　　1.1整體換元法
　　整體換元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰。
　　例1：分解因式：（a+3a-2）（a+3a+4）-16
　　解：設(shè)a+3a-2=m，則
　　原式=m（m+6）-16=m+6m-16=（m+8）（m-2）
　　=（a+3a+6）（a+3a-4）=（a+3a+6）（a+4）（a-1）
　　1.2均值換元法
　　均值換元是指在某些問題中，已知兩未知量的和，這時可將這兩個未知量用它們的均值和一個新變量來表示，從而使計算化繁為簡，我們稱這種方法為均值換元法。
　　例2：分解因式：（a+1）（a+3）（a+5）（a+7）+15
　　解：原式=［（a+1）（a+7）］［（a+3）（a+5）］+15
　　=（a+8a+7）（a+8a+15）+15
　　取“均值”，設(shè)m=［（a+8a+7）+（a+8a+15）］=a+8a+11，則
　　原式=（m-4）（m+4）+15=m-16+15=（m+1）（m-1）
　　=（a+8a+12）（a+8a+10）=（a+2）（a+6）（a+8a+10）
　　1.3局部換元法
　　局部換元法是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。
　　例3：分解因式：（x-4x+3）（x-4x-12）+56
　　解：設(shè)x-4x=y，則
　　原式=（y+3）（y-12）+56=y-9y+20
　　=（y-4）（y-5）=（x-4x-4）（x-4x-5）
　　=（x-4x-4）（x-5）（x+1）
　　1.4常值換元法
　　常值換元就是用字母代替題目中的已知數(shù)值。對某些題目，利用這種常值換元法來求解，往往能化繁為簡、巧妙獲解。
　　例4：分解因式：x+2004x+2003x+2004
　　解：設(shè)2004=y，則
　　原式=x+yx+（y-1）x+y=（x-x）+（yx+yx+y）
　　=x（x-1）+y（x+x+1）=（x+x+1）（x-x+y）
　　=（x+x+1）（x-x+2004）
　　1.5倒數(shù)換元法
　　倒數(shù)換元指將互為倒數(shù)的用一個字母來代替它從，從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。
　　例5：分解因式：a+7a+14a+7a+1
　　解：原式=aa+7a+14++
　　 =aa+?搖+7a+?搖+14
　　 =a［（m-2）+7m+14］設(shè)a+=m
　　 =a（m+7m+12）=a（m+3）（m+4）
　　 =aa++3a++4=（a+3a+1）（a+4a+1）
　　2.利用換元法證明不等式
　　換元法是指對結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，量與量之間關(guān)系不太直觀的問題，通過恰當(dāng)引入新的變量，來代換原命題中的部分式子，通過代換達(dá)到減元的目的，達(dá)到簡化結(jié)構(gòu)，便于研究的形式。
　　換元法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛，常采用的方法有三角換元法、均值換元法、增量換元法及分母換元法。
　　2.1三角換元法
　　把代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決。
　　例6：已知a，b∈R，且a+b≤1，求證：|a+2ab-b|≤。
　　證明：設(shè)a=rcosθ，b=rsinθ，其中|r≤1|，θ∈［0，2π），則
　　|a+2ab-b|=|rcosθ+2rsinθcosθ-rsinθ|
　　=|rcos2θ+rsin2θ|
　　=r|sin2θ+|≤
　　∴|a+2ab-b|≤，原不等式得證。
　　2.2均值換元法
　　使用均值換元法能達(dá)到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。
　　例7：已知a，b∈R，且a+b=1，求證：（a+2）+（b+2）≥。
　　證明：因為a，b∈R，且a+b=1，所以設(shè)a=+t，b=-t（t∈R），則
　　（a+2）+（b+2）=+t+2+-t+2
　　=+t+-t
　　=+2t≥
　　即（a+2）+（b+2）≥，原不等式得證。
　　2.3增量換元法
　　若某一變量在一常量附近變化時，可設(shè)這一變量為該常量加上另一變量。
　　例8：已知a＞2，b＞2，求證：a+b＜ab。
　　證明：設(shè)a=2+m，b=2+n，顯然m＞0，n＞0
　　則a+b-ab=2+m+2+n-（2+m）（2+n）
　　=4+m+n-4-2m-2n-mn
　　=-m-n-mn＜0
　　故a+b＜ab。
　　2.4分母換元法
　　對于一些分式不等式證明題，如果各項分式的分母比較復(fù)雜，而且不容易找到解題的思路時，可以考慮把分母看作一個整體進(jìn)行換元，從而將分式的分母簡化，以便于尋找解題的突破口。
　　例9：設(shè)a、b、c∈R，且abc=1，證明：++≥。
　　分析：由于原式轉(zhuǎn)為證++≥，
　　即++≥，
　　故令s=a+b+c，x=s-a，x=s-b，x=s-c，
　　則x+y+z=2s，原式轉(zhuǎn)為證++≥，
　　化為證（x+y+z）（x+y+z）≥9，
　　而此式左邊≥3（）×3（）=9，得證。
　　3.運(yùn)用換元法解決求值問題
　　3.1利用換元法求二元函數(shù)最值問題
　　二元函數(shù)是指含有兩個自變量的函數(shù)。求二元函數(shù)最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)常見的題型，其求解的技巧性強(qiáng)，換元法是解答這類問題的有效方法，下面通過例子說明解答這類問題的技巧。
　　3.1.1三角換元
　　例10：已知x-2xy+2y=2，求x+y的最小值。
　　解析：對條件進(jìn)行變形得：（x-y）+y=2
　　令x-y=sinθy=cosθ，則x=（sinθ+cosθ）y=cosθ
　　∴x+y=（sinθ+cosθ）+cosθ
　　=sin（θ+φ）（其中tanφ=）
　　∵-1≤sin（θ+φ）≤1，∴-≤sin（θ+φ）≤，即x+y的最小值是-。
　　點(diǎn)評：解題中遇到a+b=c和a+b=1（a＞0，b＞0）形式時，可用三角換元法嘗試解題。
　　3.1.2系數(shù)換元
　　例11：已知x，y∈R，x+y=1，求+的最大值。
　　解析：∵==≤=，
　　同理==≤，
　　∴+≤+=（x+y）+=2，
　　當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時取等號，
　　∴+的最大值是2。
　　點(diǎn)評：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的的結(jié)構(gòu)特征，湊出常數(shù)因子，進(jìn)行系數(shù)換元是解此類問題的關(guān)鍵。
　　3.1.3參數(shù)換元
　　例12：已知x≥0，y≥0，且y=4x，求x+y-2x+y+1的最小值。
　　解析：由y=4x，可設(shè)x=ty=2t（t≥0），則
　　x+y-2x+y+1=t+2t+2t+1
　　顯然t+2t+2t+1在［0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時，t+2t+2t+1的最小值是1，即x+y-2x+y+1的最小值是1。
　　
　　點(diǎn)評：本題利用參數(shù)換元將二元函數(shù)問題化為一元函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解。
　　3.2利用換元法解一類取值范圍題
　　例13：實(shí)數(shù)x，y滿足x+xy-2y=1，求S=3x-y的取值范圍。
　　解：由題意：（x-y）（x+2y）=1，令x-y=t，x+2y=，得
　　x=（2t+），y=（-t+）
　　代入S=3x-y，化為t的函數(shù)：
　　S=（2t+）-（-t+）=+（11t+）
　　 ≥+=
　　當(dāng)且僅當(dāng)11t=，t=±時取等號。因此，S∈［，+∞）。
　　3.3利用換元法求函數(shù)值域
　　值域是函數(shù)的三要素之一，它由函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則唯一確定.常用的求函數(shù)值域的方法有：配方法、反函數(shù)法、判別式法、換元法、單調(diào)性法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法等。
　　所謂換元法求函數(shù)值域，就是運(yùn)用三角代換或代數(shù)代換，把所給得不易求值域的函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個易求的或比較熟悉的函數(shù)，再求出它的值域。
　　3.3.1三角代換
　　例14：求函數(shù)y=x+的值域。
　　分析：考慮到函數(shù)的定義域為［-1，1］，且有x+（）=1，容易聯(lián)想到三角公式sinθ+cosθ=1，故可用三角代換法。
　　解：設(shè)x=sinθ，θ∈-，，則=cosθ
　　∴y=sinθ+cosθ=sin（θ+）
　　∵θ∈-，
　　∴θ+∈-，
　　因而
　　sin（θ+）∈-，1，sin（θ+）∈［-1，］
　　故原函數(shù)的值域為［-1，］。
　　3.3.2代數(shù)替換
　　例15：求y=x+的值域。
　　解：設(shè)t=≥0，則x=，∴y=+t=-（t-1）+1，易知當(dāng)t=1時，y取最大值1.∴y∈（-∞，1］。
　　評價：對于求形如y=ax+b+函數(shù)值域問題，通常令t=≥0，則x=，使之變?yōu)榍箨P(guān)于t的二次函數(shù)在［0，+∞）上的值域問題。
　　4.結(jié)語
　　從一種形態(tài)轉(zhuǎn)化到另一種形態(tài)，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個杠桿，也是解題常用的手段。數(shù)學(xué)史中這樣的例子很多，無論是對一些具體問題的解決，還是在經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法中，都無不滲透著這一思想。解題中常用到的換元法，其實(shí)也是這一思想的具體體現(xiàn)。
　　學(xué)會運(yùn)用換元法，不但可以溝通數(shù)學(xué)各個分支之間的聯(lián)系，而且可以擴(kuò)大視野，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣。平時在解決一些數(shù)學(xué)難題時要善于利用換元即變量替換，這樣可以使復(fù)雜問題的本質(zhì)特征更加顯現(xiàn)，因此應(yīng)用換元法可以解題化繁為簡，避難而易，起到拋磚引玉，收到事半功倍的效果。總之，各種換元法不是彼此孤立的，而是相互聯(lián)系的，在解題時同時考慮多種換元法，巧用換元法，可以使問題簡明容易，拓寬自己的思維，開創(chuàng)自己的創(chuàng)新思維。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］蔣昌林.也談一類分式不等式的統(tǒng)一證法［J］.數(shù)學(xué)通報，2005，（5）：10-18.
　　［2］馬德炎.三角代換在某些代數(shù)問題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)通報，2000，（5）：4-8.
　　［3］李長明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究［M］.北京:高等教育出版社，2005：19-26.
　　［4］胡云浩.再談兩類無理函數(shù)的最值問題.數(shù)學(xué)教學(xué)，2007，（5）：20-36.
　　［5］田彥武.解兩類無理函數(shù)最值問題的新視角.數(shù)學(xué)教學(xué)，2007，（6）：78-99.
　　［6］吳健.巧用換元法分解因式［J］.中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)）（北師大版），2009，（02）：108-122.