直線與圓錐曲線的位置關系的研究

　　摘 要： 直線與圓錐曲線的位置關系是高中解析幾何的重要內容，涉及到位置關系的判定、弦長問題、中點弦問題、最值問題等知識點，突出考查數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想，學習這部分內容能很好地鍛煉學生的思維。
　　關鍵詞： 直線圓錐曲線 位置關系
　　
　　直線與圓錐曲線的位置關系是高中解析幾何的重點，也是高考的熱點，主要涉及到位置關系的判定、弦長問題、中點弦問題、最值問題等知識點，突出考查數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想，要求考生具有較高的分析問題、解決問題的能力。下面我結合實例討論有關直線與圓錐曲線的位置關系的問題。
　　一、位置關系的判定
　　通常將直線與圓錐曲線方程聯立方程組，由消元后方程的解的個數來判定它們的位置關系。
　　例1：若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓+=1總有公共點，求m的取值范圍。
　　解：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上，知：0＜m＜5。
　　由y=kx+1+=1得：（m+5k）x+10kx+5(1-m)=0。
　　又∵直線與橢圓總有公共點，
　　∴上述方程Δ≥0對一切實數k成立。
　　即(10k)-4x(m+5k)×5(1-m)≥0，
　　亦即5k≥1-m對一切實數k成立。
　　∴1-m≤0，即m≥1。
　　故m的取值范圍為m∈(1，5)。
　　二、弦長問題
　　如果直線的斜率為k，被圓錐曲線截得弦AB兩端點坐標分別為(x，y)、(x，y)，則弦長公式為：
　　|AB|=·=·
　　例2：已知橢圓中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓相交于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓經過原點O，且|PQ|=，求橢圓的方程。
　　解：設所求橢圓的方程為：mx+ny=1(m>0，n>0，m≠n)，將y=x+1代入得：(m+n)x+2nx+n-1=0。
　　設P(x，y)、Q(x，y)
　　由韋達定理得：x+x=-，xx= ①
　　yy=(x+1)(x+1)=xx+(x+x)+1=
　　∵以PQ為直徑的圓過點O，則OP⊥OQ
　　∴xx+yy=0，即+=0
　　∴m+n=2 ②
　　將②代入①得：x+x=-nx·x=
　　∵|PQ|=，
　　∴(x+x)-4xx=(1+k)=，4n-7n+3=0
　　∴n=m=，n=m=。
　　∴所求橢圓方程為x+y=1或x+y=1。
　　三、中點弦問題
　　通常采用“點差法”或“通法”。
　　例3：在橢圓x+4y=16中，求通過點M(2，1)且被這點平分的弦所在的直線的方程。
　　解法一：當直線斜率不存在時，M不可能為弦中點，所以可設直線方程為y=k(x-2)+1代入橢圓方程，消去y整理得：
　　(1+4k)x-(16k-8k)x+16k-16k-12=0
　　顯然1+4k≠0，Δ=16(12k+4k+3)>0
　　由x+x==4，解得k=-，
　　故所求弦所在直線方程為：x+2y-4=0。
　　解法二：設弦兩端點P(x，y)、P(x，y)
　　則x+x=4①y+y=2②x+4y=16③x+4y=16④
　　③-④得：(x+x)(x-x)+4(y+y)(y-y)=0
　　再將①②代入上式得4(x-x)+8(y-y)=0
　　∵x≠x
　　∴k==-。
　　以下同解法一。
　　四、最值問題
　　例4： 過定點 M（ -，0 ）作直線l與橢圓：3x+4y =12相交 于A、B 兩點，O 是坐標原點，求 △AOB 的最大面積，并求此時直線l的傾斜角。
　　解：設直線l不垂直 x 軸，則其方程表示為y=k（x+），把它代入橢圓3x+4y=12中，可得：
　　（ 3+4k ）x+8kx+12（ k-1 ）=0。
　　又設 A（ x，y ），B（ x，y ），
　　則x+x=
　　xx=
　　∴| AB |==|x-x|
　　=·
　　=·
　　=·
　　又得到直線l的距離 d=
　　∴三角形 AOB 的面積S=|AB|×d=
　　去分母，兩邊平方，并化簡得
　　4（ 4S-9）k+12（2S-9 ）k+9S=0
　　∵k∈R，有△=［12（ 2S-9 ）］-4×4（4S-9）×9S≥0
　　解之，得 S ≤ 3，由 S ＞ 0，故S ≤。
　　當直線l垂直于 x 軸時，直線l為 x=-，
　　代入橢圓方程求得 A、B 兩點的縱坐標，故
　　S =×= ＜
　　因此△AOB 面積的最大值是。
　　此時k=，k=±，故直線l的傾斜角 a=arctg 或 π-arctg。
　　
　　參考文獻：
　　［1］范東暉.直線與圓錐曲線關系一課教學與反思.中學教研（數學），2006，（4）.
　　［2］盧平林.點擊直線與圓錐曲線相交弦問題.數理天地（高中版），2005，（7）.
　　［3］張必平.熱點直擊——直線與圓錐曲線相交弦問題巡視.中學理科月刊，2005，（5）.
　　［4］許成義.直線與圓錐曲線位置關系.數學大世界，2003，（12）.