“數(shù)形結(jié)合”是簡(jiǎn)縮思維的銳器

　　數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征、尋找解決問(wèn)題思路的一種數(shù)學(xué)思想。
　　數(shù)形結(jié)合思想方法是高考重點(diǎn)考查的思想方法之一，近年來(lái)高考試題（特別是客觀題）能夠用此方法解決的均占相當(dāng)?shù)谋壤Ｆ涮攸c(diǎn)是形象、直觀、快捷。因此是高考備考中應(yīng)予以足夠重視的數(shù)學(xué)解題思想方法。
　　題1：如果x，y滿足x-y＞0x+y＞0，則有（）。
　　A.x+y+2x＞0B.x+y+2x＜0
　　C.x+y-2x＞0D.x+y-2x＜0
　　分析：若從不等式性質(zhì)入手解決，本題為難題；換一個(gè)視角思考，若從圖形上分析條件與選項(xiàng)意義，本題不難解決。
　　解：作出可行域：x-y＞0x+y＞0
　　而x+y+2x=（x+1）+y-1中（x+1）+y表示可行域內(nèi)點(diǎn)（x，y）到A（-1，0）距離的平方，易知（x+1）+y＞1，故x+y+2x＞0，選A。
　　評(píng)注：本題實(shí)質(zhì)上可視為“線性規(guī)劃問(wèn)題”，本題還可變?yōu)椋翰坏仁絰+y-4x＜0成立的充分不必要條件是（）。借助數(shù)形分析，選D。
　　題2：已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）+2y=3，則最大值為?搖?搖?搖?搖?搖?搖。
　　分析：本題解法較多，但從數(shù)形上分析可使問(wèn)題解決流暢、簡(jiǎn)潔。
　　解：（x-2）+2y=1可化為：（x-2）+（y）=3，即（x-2）+y′=3
　　∴=·
　　可視為圓（x-2）+y′=3上點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率。
　　結(jié)合圖2，知（）=
　　∴（）=
　　評(píng)注：在數(shù)形結(jié)合求解時(shí)，將橢圓方程（x-2）+2y=3化為圓方程（x-2）+（y）=3去理解是數(shù)形結(jié)合求解的關(guān)鍵。
　　題3：設(shè)函數(shù)f（x）=2-1，x≤0x，x＞0，若f（x）＞1，則x的取值范圍是（?搖?搖?搖?搖）。
　　A.（-1，1）B.（-1，+∞）
　　C.（-∞，-2）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）
　　分析：按分段函數(shù)進(jìn)行處理，因?yàn)閒（x）＞1，
　　當(dāng)x≤0時(shí)，2-x-1＞1，2-x＞2，
　　∴x＜-1；
　　當(dāng)x＞0時(shí)，x＞1，∴x＞1
　　綜上，x的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）。
　　本題若作出函數(shù)f（x）圖像，就能回避分類討論。
　　解：首先畫(huà)出函數(shù)y=f（x）與y=1的圖像（圖3），結(jié)合圖像，關(guān)注選項(xiàng)特征，易得f（x）＞1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，選D。
　　評(píng)注：對(duì)于與分段函數(shù)相聯(lián)系的相關(guān)問(wèn)題（如不等式、最值），均可借助圖像法簡(jiǎn)化分類，優(yōu)化解題。
　　題4：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ（+），λ∈［0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）。
　　A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心
　　分析：解決本題的關(guān)鍵在于注重向量語(yǔ)言的解讀。
　　解：由=+λ（+）得=λ（+）而，為單位向量，故′=+與∠BAC的高平分線同向，又λ（0，+∞），∴與∠BAC角平線同向（圖4），故點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心，選B。
　　評(píng)注：從圖形上解讀向量式的幾何意義題是理解向量語(yǔ)言的常用方法，若將條件變?yōu)椋簞?dòng)點(diǎn)滿足=+λ（+），按同樣分析，選C。
　　題5：已知二次函數(shù)y=f（x）的圖像以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)（1，1），反比例函數(shù)y=f（x）的圖像與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，f（x）=f（x）+f（x）。
　　（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
　　（2）證明：當(dāng)a＞3時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=f（a）有三個(gè)實(shí)數(shù)解。
　　分析：由（1）f（x）=x+，∴方程f（x）=f（a）即為x+=a+，若去分母則得到關(guān)于x的三be66e3a503bf647fb0a2a94c836259ef次方程，從“數(shù)”上處理較難，若能從“形”上考慮，“數(shù)形結(jié)合”，即可找到解決問(wèn)題的方案。
　　解：（2）由f（x）=f（a）得x+=a+，即=-x+a+，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出f（x）=和f（x）=-x+a+的大致圖像（圖5），易知f（x）與f（x）在第三象限只有一個(gè)交點(diǎn)，即f（x）=f（a）有一個(gè)負(fù)數(shù)解。
　　又f（2）=4，f（2）=a+-4。
　　當(dāng)a＞3時(shí)，f（2）-f（2）=a+-8＞a-8＞0。
　　∴當(dāng)a＞3時(shí)，在第一象限f（x）的圖像上存在點(diǎn)（2，f（2））在f（x）圖像的上方。
　　∴f（x）與f（x）在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)，即f（x）=f（a）有兩個(gè)正數(shù)解。
　　因此，方程f（x）=f（a）有三個(gè)實(shí)數(shù)解。
　　評(píng)注：關(guān)于方程根的性態(tài)問(wèn)題，使用數(shù)形結(jié)合處理比較方便、直觀。
　　綜上，從內(nèi)容上講，可以用數(shù)形結(jié)合思想方法解決的問(wèn)題，主要有以下幾類：
　　（1）與方程、不等式有關(guān)的問(wèn)題；
　　（2）與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題；
　　（3）與分段函數(shù)相關(guān)問(wèn)題；
　　（4）向量問(wèn)題；
　　（5）與解析幾何有關(guān)的問(wèn)題，如線性規(guī)劃問(wèn)題、最值問(wèn)題等。
　　反思：在使用數(shù)形結(jié)合方法時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)。
　　（1）數(shù)形結(jié)合屬簡(jiǎn)縮思維模式，常用來(lái)解選擇題、填空題，若用來(lái)處理解答題，要特別注意說(shuō)理的嚴(yán)密性，如題5中兩函數(shù)在第一象限的交點(diǎn)的說(shuō)明。
　　（2）在數(shù)形結(jié)合時(shí)，要注意對(duì)函數(shù)的優(yōu)化選擇，達(dá)到簡(jiǎn)捷、容易的目的。
　　如題2中將（x-2）+2y=3轉(zhuǎn)化為（x-2）+（y）=3處理，又如題5中將方程x+=x+a+轉(zhuǎn)化為=-x+a+處理，就是這一意義。