抽象函數(shù)問題分類解析

　　抽象函數(shù)問題由于沒有給出具體函數(shù)解析式，只是給出一些特殊條件的函數(shù)，故具有一定的抽象性，又因其性質(zhì)隱而不露，常使學(xué)生感到“無法可依”，使教師對(duì)教材處理深感茫然，但這類問題已成高考的熱點(diǎn)問題。因此，本文就這類問題的解題規(guī)律及一般思路進(jìn)行分類解析。
　　一、抽象函數(shù)問題的特點(diǎn)
　　抽象函數(shù)題通常只給出函數(shù)記號(hào)及相關(guān)的一些運(yùn)算性質(zhì)，但不直接給出其解析式。這類問題具有題意抽象化與思路特殊化相統(tǒng)一的辯證性特點(diǎn)。
　　二、抽象函數(shù)問題的解法
　　解決抽象函數(shù)問題的常用方法有賦值、換元、迭代、解方程（組）或不等式（組）等。解決抽象函數(shù)問題的主要途徑是：尋找（常用從特殊到一般的方法）并運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性等），化抽象為具體，化抽象為直觀，有時(shí)需運(yùn)用類比、猜想出它可能為某種基本初等函數(shù)，以及數(shù)形結(jié)合思想來求解。
　　三、抽象函數(shù)問題分類解析
　　1．一次函數(shù)型
　　以一次函數(shù)f（x）=kx為原型，其基本特征是f（x+y）=f（x）+f（y），或f（x-y）=f（x）-f（y）。
　　以f（x+y）=f（x）+f（y）為例證明。
　　證明：∵f（x）=kx，
　　∴f（x+y）=k（x+y）=kx+ky=f（x）+f（y），即f（x+y）=f（x）+f（y）.
　　例1.已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，f（1）=-3，求f（x）在區(qū)間［-2，3］上的最大值。
　　分析：由f（x+y）=f（x）+f（y），想：k（x+y）=kx+ky，原型函數(shù)為f（x）=kx，猜測：抽象函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞減，最大值、最小值分別為f（-2）與f（3）。
　　解析：由f（x+y）=f（x）+f（y），令x=0，得f（0）=0，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），f（2）=2f（1）=-6，f（3）=3f（1）=-9.
　　任取x＜x，則f（x）-f（x）=f［（x-x）+x］-f（x）
　　=f（x-x）+f（x）-f（x）=f（x-x），
　　∵x-x＜0，∴f（x-x）＞0，即f（x）＞f（x）.
　　∴f（x）在［-2，3］上單調(diào)遞減，最大值、最小值分別為f（-2）=-f（2）=6與f（3）=-9.
　　評(píng)析：由于抽象函數(shù)沒有給出具體的解析式，所以討論抽象函數(shù)的單調(diào)性，一般是用定義法。
　　2.二次函數(shù)型
　　以二次函數(shù)f（x）=k（x-a）+m為原型，其基本特征是f（a+x）=f（a-x）。
　　證明：∵f（x）=k（x-a）+m，∴f（a+x）=k［（a+x）-a］+m=kx+m.又f（a-x）=k［（a-x）-a］+m=kx+m，∴f（a+x）=f（a-x）.
　　例2.已知實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）恒滿足f（2+x）=f（2-x），方程f（x）=0有5個(gè)實(shí)根，則這5個(gè)實(shí)根之和是多少？
　　分析：因?yàn)閷?shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）恒滿足f（2+x）=f（2-x），方程f（x）=0有5個(gè)實(shí)根，可以將該函數(shù)看成是類似于二次函數(shù)y=k（x-2）+m為模型引出解題思路，即函數(shù)的對(duì)稱軸是x=2，并且函數(shù)在f（2）=0，其余的四個(gè)實(shí)數(shù)根關(guān)于x=2對(duì)稱。
　　解析：因?yàn)閷?shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）恒滿足f（2+x）=f（2-x），方程f（x）=0有5個(gè)實(shí)根，所以函數(shù)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以方程的五個(gè)實(shí)數(shù)根也關(guān)于直線x=2對(duì)稱，其中有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，其它四個(gè)實(shí)數(shù)根位于直線x=2兩側(cè)，并關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則這5個(gè)根之和為10.
　　評(píng)析：已知條件類比二次函數(shù)y=k（x-2）+m為模型，這類抽象問題通過數(shù)形結(jié)合來解決。
　　3.冪函數(shù)型
　　以冪函數(shù)f（x）=x為原型，其基本特征是f（xy）=f（x）f（y），或f（）=。
　　以f（xy）=f（x）f（y）為例證明。
　　證明：∵f（x）=x，
　　∴f（xy）=（xy）=xy=f（x）f（y），即f（xy）=f（x）f（y）.
　　例3.已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y＞0，均有f（xy）=f（x）f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，有f（x）＜1，f（3）=.
　?。?）求證：f（x）＞0；
　?。?）求證：f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)；
　?。?）若f（m）=9，試求m的值。
　　分析：由f（xy）=f（x）f（y），想：（xx）=xx，原型函數(shù)為f（x）=x（n為常數(shù)（f（x）=x）），猜測：抽象函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）＞0。
　　解析：（1）由條件可得f（x）=f（·）=f（）≥0，又f（3）=f（·x）=f（）f（x）=＞0，∴f（x）＞0.
　　（2）任取x＞x＞0，則＞1，∴f（）＜1.
　　∵f（x）=f（·x）=f（）f（x）＜f（x），∴f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù).
　?。?）由條件可得f（1）=f（1），又f（x）＞0，∴f（1）=1.
　　由f（3）=，得9f（3）=1，又f（m）=9，∴f（m）f（3）=1.
　　∵f（m）f（3）=f（3m），∴f（3m）=1=f（1）.
　　又f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，∴3m=1，即m=.
　　評(píng)析：抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，把它看作給定的運(yùn)算法則，通過變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。
　　4.指數(shù)函數(shù)型
　　以指數(shù)函數(shù)f（x）=a（a＞0，a≠1）為原型，其基本特征是f（x+y）=f（x）（y），或f（x-y）=。
　　以f（x+y）=f（x）f（y）為例證明。
　　證明：∵f（x）=a，
　　∴f（x+y）=a=aa=f（x）f（y），即f（x+y）=f（x）f（y）.
　　例4.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n總有f（m+n）=f（m）f（n），且f（0）≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1.
　　（1）試求f（0）的值；
　?。?）當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）的取值范圍；
　?。?）判斷f（x）的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
　　（4）設(shè)A={（x，y）|f（x）f（y）＞f（1）}，B={（x，y）|f（kx-y+）=1，k∈R}，若A∩B=?準(zhǔn)，試確定k的取值范圍；
　?。?）試舉出一個(gè)滿足條件的函數(shù)f（x）。
　　分析：由f（m+n）=f（m）f（n），想：a=aa。原型函數(shù)為f（x）=a（a＞0，a≠1），①當(dāng)a＞1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）＞1；x＜0時(shí)，0＜f（x）＜1。②當(dāng)0＜a＜1時(shí)為單調(diào)減函數(shù)，且x＜0時(shí)，f（x）＞1；x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1。猜測：抽象函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1。
　　解析：（1）在f（m+n）=f（m）f（n）中，令m=n=0，得f（0）=f（0）.
　　∵f（0）≠0，∴f（0）=1.
　?。?）對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n總有f（m+n）=f（m）f（n），且f（0）≠0.
　　設(shè)x＜0，則-x＞0，∴0＜-f（-x）＜1．
　　又f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1，
　　∴f（-x）=∈（0，1），∴f（x）＞1.
　?。?）設(shè)x＞x，x，x∈R，則x-x＞0，0＜f（x-x）＜1，且===f（x-x）＜1，
　　∴f（x）＜f（x），∴f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)．
　?。?）首先利用f（x）的單調(diào)性，將有關(guān)函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含f的式子.
　　f（x）f（y）＞f（1）?圯f（x+y）＜f（1）?圯x+y＜1.
　　
　　f（kx-y+）=1=f（0）?圯kx-y+=0.
　　因?yàn)锳∩B=?準(zhǔn)，所以直線kx-y+=0與圓面x+y＜1無公共點(diǎn).
　　所以≥1．解得：-1≤k≤1．
　　（5）如f（x）=（）．
　　評(píng)析：利用抽象函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)來解抽象不等式。
　　5.對(duì)數(shù)函數(shù)型
　　以對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=logx（a＞0，a≠1）為原型，其基本特征是f（xy）=f（x）+f（y），或f（）=f（x）-f（y）。
　　以f（xy）=f（x）+f（y）為例證明。
　　證明：∵f（x）=logx（a＞0，a≠1），
　　∴f（xy）=logxy=logx+logy=f（x）+f（y），即f（xy）=f（x）+f（y）.
　　例5.設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），對(duì)任意正數(shù)m，n，恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，f（2）=-1.
　?。?）求f（1）和f（）的值；
　?。?）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)。
　　分析：由f（mn）=f（m）+f（n），想：logmn=logm+logn，原型函數(shù)為f（x）=logx（a＞0，a≠1），①當(dāng)a＞1時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，且x＞1時(shí)，f（x）＞0；0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0。②當(dāng)0＜a＜1時(shí)為單調(diào)減函數(shù)，且0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0；x＞1時(shí)，f（x）＜0。猜測：抽象函數(shù)f（x）為減函數(shù)。
　　解析：（1）賦值法．令m=n=1，得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0.f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=-1+f（）=0，∴f（）=1.
　?。?）任取x＞x＞0，則＞1．∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，∴f（）＜0，∴f（x）=f（x·）=f（x）+f（）＜f（x），∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù).
　　評(píng)析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取m=n=1，求出f（1）=0，這樣便把已知條件f（2）=-1與欲求的f（）聯(lián)系了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。
　　6.三角函數(shù)型
　　以三角函數(shù)f（x）=sinwx為原型，其基本特征是f（x+y）+f（x-y）=2f（x）coswy，或f（x）+f（y）=2f（）cos。
　　以三角函數(shù)f（x）=coswx為原型，其基本特征是f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），或f（x）+f（y）=2f（）f（）。
　　以三角函數(shù)f（x）=tanwx為原型，其基本特征是f（x+y）=，或f（x-y）=。
　　以f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy為例證明。
　　證明：∵f（x）=sinwx，
　　∴f（x+y）+f（x-y）=sinw（x+y）+sinw（x-y）
　　=2sinwxcoswy=2f（x）coswy，即f（x+y）+f（x-y）=2f（x）coswy.
　　例6．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y∈R，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=0，f（）=1，給出下列結(jié)論：①f（）=1；②f（x）是奇函數(shù)；③f（x）是周期函數(shù)；④f（x）在（0，π）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)．其中正確的結(jié)論有：?搖?搖?搖?搖?搖.
　　分析：由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，想：sin（x+y）+sin（x-y）=2sinxcosy，且滿足f（0）=0，f（）=1，原型函數(shù)為f（x）=sinx，∴只有②③正確。
　　另解：賦值法．（1）令x=0，得f（y）+f（-y）=0，∴f（x）是奇函數(shù)。
　　（2）令y=，得f（x+）+f（x-）=0，
　　∴f（x+）=-f（x-）=f（-x）①
　　令x=，y=x，得f（+x）+f（-x）=2cosx②
　　由①、②可得f（+x）=cosx，∴f（x）=sinx，∴只有②③正確。
　　例7.設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（y）=2f（）f（），且f（）=0，x，y∈R；求證：f（x）為周期函數(shù)，并指出它的一個(gè)周期。
　　分析：由f（x）+f（y）=2f（）f（），想：cosx+cosx=2coscos，原型函數(shù)為f（x）=cosx，猜測：抽象函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，且2π為它的一個(gè)周期。
　　解析：由f（x）+f（x）=2f（）f（），令x=x+π，x=x，則f（x+π）+f（x）=2f（x+）f（）=0，∴f（x+π）=-f（x）?圯f（x+2π）=f（x）.∴f（x）為周期函數(shù)，2π是它的一個(gè)周期。
　　例8．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=，若f（2）=2010，試求f（2011）。
　　分析：由f（x+1）=，想：tan（x+）=。原型函數(shù)為f（x）=tanx為周期函數(shù)，且周期為4×=π。猜測：抽象函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，且周期為4×1=4。
　　解析：∵f（x+2）=f［（x+1）+1］===-，
　　∴f（x+4）=f［（x+2）+2］=-=f（x）?圯f（x+4）=f（x）.
　　∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)。
　　又∵f（2）=2010，
　　∵f（2011）=f（502×4+3）=f（3）=f（2+1）===-，
　　∴f（2011）=-
　　評(píng)析：條件中有兩個(gè)變量和，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中消去，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要方法。
　　許多抽象函數(shù)問題都是以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景，解題時(shí)可從研究抽象函數(shù)的背景入手，通過類比猜想抽象函數(shù)可能具有某些性質(zhì)，從而得到解題思路，即用從特殊到一般，先猜后證的方法求解，注意在證明函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一般是用定義法。