例談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

　　數(shù)與形是現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的抽象和反映，同時(shí)也是數(shù)學(xué)的基石。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。只有數(shù)形結(jié)合，才能更好地進(jìn)入解題的新天地。下面我就近幾年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用，以期拋磚引玉。
　　一、圖景結(jié)合
　　圖景結(jié)合是指運(yùn)用圖形提供一定的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，通過(guò)對(duì)圖形中的情境分析，抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)問(wèn)題，再利用所學(xué)知識(shí)去解釋。
　　例：如圖，小東的父親在院子的門(mén)板上釘了一個(gè)加固板，從數(shù)學(xué)的角度看，這樣做的道理是?搖?搖?搖?搖。
　　（答案：三角形具有穩(wěn)定性）
　　分析：圖景信息題主要是借助圖形語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題情境，求解的關(guān)鍵是“轉(zhuǎn)化”，即準(zhǔn)確地把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言。
　　二、圖表結(jié)合
　　圖表結(jié)合是指運(yùn)用二維表提供數(shù)據(jù)關(guān)系信息，通過(guò)對(duì)表中的數(shù)據(jù)信息的分析、比較、判斷和歸納，弄清表中各數(shù)據(jù)所表示的含義及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后利用所學(xué)的知識(shí)（方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等）解決問(wèn)題。
　　例：光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái)，現(xiàn)將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū)。兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見(jiàn)下表：
　　（1）設(shè)派往A地區(qū)x臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y（元），求y與x間函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
　　（2）若使農(nóng)機(jī)租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79600元，說(shuō)明有多少種分派方案，并將各種方案設(shè)計(jì)出來(lái)；
　　（3）如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請(qǐng)你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提出一條合理化建議。
　　分析：解本題的關(guān)鍵是要弄清：表頭所反映的研究對(duì)象；表行（列）所反映數(shù)量關(guān)系。通過(guò)分析表中數(shù)據(jù)，找出它們的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。
　　（答案：（1）y=1600x+1800（30-x）+1200（30-x）+1600（x-10）=200x+74000，x的取值范圍：10≤x≤30（x是正整數(shù)）。
　　（2）由200x+74000≥79600，得x≥28，由10≤x≤30，則x可取28、29、30，故有3種不同方案。
　　（3）由y=200x+74000得y隨x的增大而增大，當(dāng)x=30時(shí)，y有最大值80000。
　　三、圖像結(jié)合
　　圖像結(jié)合是指把要解決的問(wèn)題借助圖像的特征表現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)對(duì)圖像的解讀、分析和判斷，弄清所研究的對(duì)象（即坐標(biāo)軸意義）和隱含的數(shù)論量關(guān)系，然后再根據(jù)圖像特征及相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。
　　1.如圖，L1，L2分別表示一種白熾燈和一種節(jié)能燈的費(fèi)用y（費(fèi)用=燈的售價(jià)+電費(fèi)，單位：元）與照明時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)圖像，假設(shè)兩種燈的使用壽命都是2000小時(shí)，照明效果一樣。
　　（1）根據(jù)圖像分別求出L1，L2的函數(shù)關(guān)系式。
　　（2）當(dāng)照明時(shí)間多少時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相等？
　　（3）小敏房間計(jì)劃照明2500小時(shí)，他買(mǎi)了一個(gè)白熾燈和一個(gè)節(jié)能燈，請(qǐng)幫他設(shè)計(jì)最省錢(qián)的用燈方法（直接寫(xiě)出答案，不必寫(xiě)解答過(guò)程）。
　　分析：這類(lèi)題最為關(guān)鍵之處在于讀懂圖像所表達(dá)的實(shí)際意義。觀察圖像可知，L1、L2都有已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求其解析式，再?gòu)暮瘮?shù)觀點(diǎn)解題。
　　（答案：（1）L1：y=0.03x+2，L2：y=0.012x+20；（2）1000小時(shí)；（3）L2用2000小時(shí)，L1用1000小時(shí)）
　　2.某農(nóng)場(chǎng)為防風(fēng)治沙在一山坡上種植一片樹(shù)苗，并安裝了自動(dòng)噴灌設(shè)備。一瞬間，噴水頭噴出的水流呈拋物線。如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，已知噴水頭B高出地面1.5米，噴水管與山坡所成的夾角∠BOA約為63°，水流最高點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3.5）。
　　（1）求此水流拋物線的解析式；
　　（2）求山坡所在的直線OA的解析式；
　　（3）計(jì)算水噴出后落在山坡上的最遠(yuǎn)距離OA（精確到0.1米）。
　　分析：這類(lèi)題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量準(zhǔn)確地與圖像進(jìn)行整合，從而根據(jù)所學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)解題，再用函數(shù)觀點(diǎn)與實(shí)際結(jié)合返回解題。
　　（答案：（1）y=-0.5（x-2）+3.5或y=-0.5x+2x+1.5；（2）y=0.5x；（3）4.2米）
　　四、由情景求圖像
　　由情景求圖像是指借助圖景所反映的信息，通過(guò)對(duì)情景的分析得出情景與圖像的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而解決問(wèn)題。
　　1.某興趣小組做實(shí)驗(yàn)，將一個(gè)裝滿(mǎn)水的啤酒瓶倒置（如圖4-1），并設(shè)法使瓶里的水從瓶口勻速流出，那么該倒置的啤酒瓶?jī)?nèi)水面高度h隨水流出時(shí)間t變化的圖像大致是（）。
　　分析：解本題的關(guān)鍵是理解圖像的傾斜度與流速之間的關(guān)系。（答案：C）
　　2.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看看緩慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái)，睡了一覺(jué)，當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到了終點(diǎn)。用S，S表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下列圖像中與故事情節(jié)相吻合的是（）。
　　分析：解本題的關(guān)鍵是理解圖像的起點(diǎn)、終點(diǎn)在實(shí)際問(wèn)題的意義。（答案：D）
　　五、由圖像求情景
　　由圖像求情景是指借助圖像所反映的信息，通過(guò)對(duì)圖像的分析得出圖像與情景的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而解決問(wèn)題。
　　例：若用（1）、（2）、（3）（4）四幅圖像分別表示變量之間的關(guān)系，
　　請(qǐng)按圖像所給順序，將下面的（a）（b）（c）（d）對(duì)應(yīng)排序正確的順序是（）。
　　（a）小車(chē)從光滑的斜面上滑下（小車(chē)的速度與時(shí)間的關(guān)系）
　　（b）一個(gè)彈簧不掛重物到逐漸掛重物（彈簧長(zhǎng)度與所掛重物的重量的關(guān)系）
　　（c）運(yùn)動(dòng)員推出去的鉛球（鉛球的高度與時(shí)間的關(guān)系）
　　（d）小楊從A到B后，停留一段時(shí)間，然后按原速度返回（路程與時(shí)間的關(guān)系）
　　A.（c）（d）（b）（a） B.（a）（b）（c）（d）
　　C.（b）（c）（a）（d） D.（d）（a）（c）（b）
　　分析：解本題可采用排除法。（答案：A）
　　六、圖案設(shè)計(jì)應(yīng)用
　　圖案設(shè)計(jì)應(yīng)用是指根據(jù)一定的要求通過(guò)空間想象、動(dòng)手操作來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，不僅僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，更展示了語(yǔ)言文字表達(dá)、個(gè)人審美的理念等思維、思想水平，故受到命題者青睞。
　　1.蘇同學(xué)為班級(jí)“學(xué)習(xí)專(zhuān)欄”設(shè)計(jì)了報(bào)頭圖案，并用文字說(shuō)明圖案的含義，如圖6-1-（1）。請(qǐng)你用最基本的幾何圖形（如直線，射線，線段，角，三角形，四邊形，多邊形，圓，圓弧和函數(shù)圖像等）中若干個(gè)，為“環(huán)保專(zhuān)欄”在圖6-1-（2）方框中設(shè)計(jì)一個(gè)報(bào)頭圖案，并簡(jiǎn)要說(shuō)明圖案含義。
　　（1）我們喜歡“合作學(xué)習(xí)”活動(dòng)（2）
　　圖6-1
　　2.請(qǐng)用幾何圖形“△”“∣∣”“”（一個(gè)三角形，兩條平行線，一個(gè)半圓）作為構(gòu)件，盡可能構(gòu)思獨(dú)特且有意義的圖形，并且寫(xiě)上一兩句貼切，詼諧的解說(shuō)詞。（至少兩幅圖）如圖6-2。
　　總之，要很好地掌握數(shù)形結(jié)合的方法，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
　　（1）要善于觀察圖形，對(duì)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系要有一定的認(rèn)識(shí)；
　　（2）正確繪制圖形，盡量清晰地反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；
　　（3）把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以“形”感知“數(shù)”，以“數(shù)”認(rèn)知“形”；
　　（4）靈活應(yīng)用數(shù)、形的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性與創(chuàng)造性。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”