淺析數學思維能力的養成

　　數學是一門嚴謹的科學，其實質是數學思維活動的教學，教學中，不少學生在分析和解決問題時，有的思路不清楚，考慮欠周到；有的遇到困難不會轉化.因此，揭示思維過程是發展學生思維的需要，是形成學生良好認知結構的需要，更是素質教育的需要.因此，注重從思維教育的角度展現并突出必要的數學思維和實際的認識過程，使學生更多地參與知識的發生發展過程，應該成為數學課堂教學實施素質教育的基本點和著眼點，應當成為數學課堂的一個準則.下面我就數學教學中如何展現思維過程談談幾點認識.
　　1.展現解題時方法的選擇過程
　　數學教學中，學生的思維往往是通過模仿教師的思維逐漸形成的，他們最關心的是教師在解題時是如何進行分析探索的，解題思路是如何展開的，解題方法是如何確定的，思維障礙是如何突破的.一道數學題中，數學信息很多，怎樣揭示知識之間的聯系和規律，是教師的一個重要任務.要讓學生掌握解法，就要求教師在解題時能充分展現自己的思維過程，展示數學思維過程中的每個層次和環節，使學生不僅清楚怎么做，而且明白為什么這么做.否則教師的分析通順，學生卻覺得神秘莫測；教師以為易如反掌，學生卻難于登天；教師口若懸河，學生卻如墜云煙.一旦陷于這種困境，絕不會取得理想的教學效果.
　　例1：已知二次函數f（x）=x-ax-3在區間［-1，1］上的最小值為3，求實數a的值.
　　這是二次函數最值問題的一種常見形式。其基本解題思路是先求出二次函數的最小值，再建立關于最小值的方程，從而求出字母的值.問題的關鍵在于如何求出二次函數的最小值，本題屬于軸動區間定型，其思路是借助二次函數圖像，結合對稱軸和所給區間的相對位置，畫出草圖，通過圖像求出最小值.即將最值問題轉化為區間端點或圖像頂點的函數值問題.本題涉及二次函數的圖像和性質，數形結合、分類討論、化歸的數學思想，本題的難點是分類的標準，教師在探求時應注意分析.
　　分析：二次函數的圖像是一條開口向上的拋物線，對稱軸為x=，它與區間［-1，1］有如下三種位置關系：
　　當對稱軸在區間的左側，即≤-1，亦即a≤-2時，由圖1可知，二次函數的最小值在區間的左端點處取得，從而有f（-1）=a-2=3，a=5.
　　當對稱軸在區間的內，即-1≤≤1，亦即-2≤a≤2時，由圖2可知，二次函數的最小值在區間的頂點處取得，從而有f=--3=3，a=-24，a無解.
　　當對稱軸在區間的右側，即≥1，亦即a≥2時，由圖3可知，二次函數的最小值在區間的右端點處取得，從而有f（1）=-a-2=3，a=-5.
　　綜上可知，a=5或-5.
　　這樣分析，學生對解題的整個思維過程才能有一個清晰的認識，對知識的掌握才能更加牢固。
　　2.展現思維受阻時的轉化過程
　　數學解題中，學生在尋求解題思路的過程中并非總是一帆風順，往往會遇到許多挫折，甚至達不到目的.教師在備課時要充分考慮到學生思維上可能會遇到的困難，有時也可以故意設計一些思維障礙，制定相應的對策，使學生學到思維受阻時的轉化策略.讓學生學到教師突破困境時的思維過程，這對發展學生思維，提高學生解題能力都是大有裨益的.
　　例2：已知圓C：（x-1）+（y-2）=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，證明：直線與圓相交.
　　分析：判斷直線與圓的位置關系的常用方法有：
　　（1）圓心到直線距離與半徑比較，即有圓心C（1，2）到直線距離
　　d==，這個距離與半徑r=5比較顯然很困難，使得思維受阻.
　　（2）直線與圓方程聯立方程組，通過消元轉化為二次方程根的個數判斷，但易知在消元這一環節就是一個難點，也無法繼續下去.
　　這時能不能換個角度來看待它們呢？
　　思路1：d與r無法正面比較，不妨轉化為側面比較，假設直線與圓相切或相離，則d≥r，即≥5，化簡得116m+144m+49≤0，由于Δ=144-4×116×49=-2000＜0，結合二次函數圖像知不等式無解，即假設不成立，所以直線與圓相交；
　　思路2：觀察直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，可判定其恒過定點P（3，1），那么所求問題可轉化為點P和圓的位置關系，由已知可得PC==＜5，即定點P（3，1）在圓C內，故直線與圓相交.
　　在教學時，教師應當引導學生觀察、分析、對比，順應學生思維，又要因勢利導，使學生在思維受阻時能及時轉變思維方向、方式和策略，縮小探索范圍，盡快走出困境.
　　3.展現學生思維的不完整過程
　　學生與教師由于生活經歷、知識水平、思維能力的差異，在遇到同一個問題時不能考慮完善，學生思維上的困惑又正是教師重點解疑排難的地方.因此，教師要注意在教學中展現學生的思維過程，從中發現問題，展開探究，完善思路，以發展學生的思維，提高解題能力.
　　例3：求過點（5，3）且與圓（x-1）+（y-1）=16相切的直線方程.
　　這是一道常見的求切線方程問題，學生通常的解法是：
　　設直線：y-3=k（x-5），即kx-y-5k+3=0，圓心（1，1）到直線的距離d==4，即k=-，所以直線方程為y=-x+.
　　分析：上述的錯誤在于過點（5，3）的直線未必存在斜率，即過點（5，3）且與圓（x-1）+（y-1）=16相切的所有直線中還有一條斜率不存在的直線x=5沒有考慮.因此，正確解法為：
　　1）當直線斜率存在時，設直線：y-3=k（x-5），即kx-y-5k+3=0，圓心（1，1）到直線的距離
　　d=，即k=-，所以直線方程為y=-x+.
　　2）當直線斜率不存在時，即直線為x=5，顯然與圓相切，所以，所求直線方程為y=-x+或x=5.
　　在解題時，讓學生展現自己的想法，教師再從中發現問題，幫助學生分析和解決，提高其思維的嚴密性.
　　例4：已知方程x+（k-2）x+5-k=0的兩根都比2大，求實數k的取值范圍.
　　對于一元二次方程根的分布問題，學生卻首先想到的是根與系數的關系，但由于條件的復雜性，常會出現如下錯誤：
　　設方程兩根為x，x，則由根與系數關系得
　　Δ≥0x+x＞4xx＞4k-16≥02-k＞45-k＞4k≤-4.
　　分析：上述求解的錯誤在于：
　　x＞2x＞2（1）與x+x＞4xx＞4（2）并不等價，由（1）可推出（2），但由（2）未必能推出（1），要解決這個問題，應借助“x＞0x＞0?圳x+x＞0xx＞0”，即對條件做些變形，再利用上述方法求解.
　　由x＞2x＞2?圳x-2＞0x-2＞0?圳（x-2）+（x-2）＞0（x-2）（x-2）＞0
　　得Δ≥0（x-2）+（x-2）＞0（x-2）（x-2）＞0Δ≥0x+x-4＞0xx-2（x+x）+4＞0?圳k-16≥02-k-4＞05-k-2（2-k）+4＞0-5＜k≤-4
　　本題也可選擇借助函數圖像，運用數形結合的方法求解，我們知道方程的根是其對應的函數圖像與軸交點的橫坐標，如果將問題放在函數中進行動態分析，就可借助運動的二次函數圖像與軸交點的位置來確定實數的范圍.其解法如下：設函數f（x）=x+（k-2）x+5-k，其圖像是開口向上的拋物線，要使方程兩根均大于2，則較小的根必大于2，因此拋物線的左半支與軸交點的橫坐標大于2即可，如圖，由圖像知，Δ≥0＞2-5＜k≤-4.f（2）＞0
　　總之，數學的解題教學中，有思維的探索、問題的提出、知識的形成、規律的發現，對于上述這些思維過程，教師不僅要起示范作用，而且要讓學生展現自己的想法，從中發現、分析、解決問題，從而發展學生的思維能力，提高學生的探究能力。
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