淺議探索性命題的若干問(wèn)題

　　一、概述
　　一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題系統(tǒng)中，通常包括四個(gè)部分：已知條件（應(yīng)用題表現(xiàn)為背景資料）、解題依據(jù)、解題方法和結(jié)論。若四部分齊備，稱之為封閉性問(wèn)題；若四部分不齊備，稱之為開放性問(wèn)題。探索性命題是開放性問(wèn)題中的一種，它通常缺少四部分中的兩部分。這樣的問(wèn)題既能達(dá)到考查學(xué)生能力的目的，又不至于讓學(xué)生因過(guò)于開放而無(wú)從下手，它的解題思路若隱若現(xiàn)，解題方法若有若無(wú)，它需要通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、分析、嘗試、判斷、歸納、總結(jié)等過(guò)程，體現(xiàn)學(xué)生的思維能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，是一種深受廣大教育工作者和命題者歡迎的題型，已經(jīng)成為并將繼續(xù)是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題。
　　二、探索性命題的分類
　　1.條件追溯型。
　　這種題目中常用“當(dāng)滿足什么條件時(shí)，能得到相應(yīng)的結(jié)論”的語(yǔ)句，需在解題時(shí)，假想有了相應(yīng)的結(jié)論，然后執(zhí)果索因，尋找能使該結(jié)論成立的條件。
　　例1：如圖，已知平行六面體ABCD-ABCD的底面ABCD是菱形，且∠CCB=∠CCD=∠BCD=60°，（1）求證：CC⊥BD；（2）假定CD=2，CC=，記面CBD為α，面CBD為β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；（3）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使AC⊥平面CBD，請(qǐng)給出證明.（2000年高考題）
　　本題的第（3）問(wèn)是探索性命題，=？正是我們需要追溯的條件.
　　2.結(jié)論探索型。
　　這種題型往往沒(méi)有給出結(jié)論，而要求解題者根據(jù)已有的信息去“猜想、推理、探求”出相應(yīng)的結(jié)論。這種題型多出現(xiàn)在早期的探索性命題數(shù)學(xué)歸納法解決的問(wèn)題中。
　　例2：已知數(shù)列{a}中，S=1-na，（n∈N）.（1）求出a，a，a，a，并猜想a的表達(dá)式；（2）請(qǐng)證明你的猜想.
　　3.存在判斷型。
　　這是探索性命題中的主要題型，題目中大多直接詢問(wèn)“是否存在”，并要求“若存在，給出證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由”。
　　例3：如圖，三棱錐A-BCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB=BC=1，是否存在滿足上述條件的三棱錐A-BCD，使二面角C-AD-B的平面角為30°？如果存在，求出線段CD的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)找出合適的角度θ，使得存在這樣的三棱錐，其二面角C-AD-B的平面角大小為θ.
　　4.尋找依據(jù)型。
　　有一類題分不清條件與結(jié)論，而要解題者尋找能由哪些結(jié)論得到哪些結(jié)論。
　　例4：設(shè)相交直線l、l確定的平面為α，l與l、l均是異面直線，給出四個(gè)論斷：①l與l成60°角；②l與l成60°角，③l′是l在α上的射影；④l與l所成的角的平分線是l′，以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題.
　　5.方法探究型。
　　這樣的題目，往往是為了達(dá)到某個(gè)目的，請(qǐng)解題者設(shè)計(jì)一個(gè)合理方案，以達(dá)到最省錢、最省料、最合理等要求。
　　例5：某工廠有一容量為300噸的水塔，每天早上6時(shí)起到晚上10時(shí)止，供應(yīng)該廠的生產(chǎn)和生活用水，已知該廠的生活用水為每小時(shí)10噸，工業(yè)用水的用水量W（噸）與時(shí)間t（小時(shí)）滿足關(guān)系式W=100，且規(guī)定早上6時(shí)t=0，水塔的進(jìn)水量分為10級(jí)，第1級(jí)每小時(shí)進(jìn)水10噸，以后每提高1級(jí)，每小時(shí)進(jìn)水量就增加10噸.若某天水塔原有水100噸，在開始供水時(shí)同時(shí)打開進(jìn)水管，問(wèn)進(jìn)水量選擇第幾級(jí)時(shí)，既能保證該廠的用水（水塔中水不定），又不會(huì)使水溢出.
　　三、解決探索性命題的常用方法
　　1.直覺判斷法
　　例6：a是常數(shù)，函數(shù)f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x+a）=+，判斷f（x）是否為周期函數(shù).
　　分析：憑直覺f（x）是周期函數(shù)，而且與常數(shù)a有關(guān)系，可能是a的倍數(shù)，
　　∴f（x+2a）=f［（x+a）+a］
　　=+
　　=+
　　=+|f（x）-|=f（x）（顯然f（x）≥）
　　∴f（x）是周期函數(shù).
　　當(dāng)然直覺判斷必須準(zhǔn)確，如果結(jié)論是不存在卻判斷成存在，就會(huì)背道而馳、南轅北轍。
　　2.認(rèn)可求證法
　　例如上面的例1的第三問(wèn)，可以先假設(shè)AC⊥面CBD，然后再去探求=？
　　設(shè)∠CCO=θ，則cos60°=cos30°cosθ，∴cosθ=，移出四邊形ACCA（如圖），設(shè)CC=1，CD=x，則CO=x，由余弦定理得：AC=3x+2x+1，CO=x-x+1，
　　∵△CEO∽△AEC，=，∴EO=CO，CE=AC，
　　又在直角三角形CEO中，CE+OE=CO，
　　（3x+2x+1）+（x-x+1）=（x），
　　∴x=1，∴=1.
　　本題原解法是直接猜想=1，再加以證明，但大多數(shù)同學(xué)無(wú)法直接猜測(cè)出這一結(jié)果，這里給出了一個(gè)完整的探索過(guò)程，才更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維方式。
　　3.預(yù)設(shè)探求法
　　例如上面的例5，先假設(shè)應(yīng)該使用x級(jí)注水方式，設(shè)池中t時(shí)刻的水為y，則y=100+x?10t-100-10t，為了保證池中任何時(shí)刻不能沒(méi)有水，也不能有水溢出，∴0＜y≤300恒成立，即t天論取多少總有0＜100+10xt-100-10t與100+10xt-100≤300恒成立，∴兩式對(duì)應(yīng)的△滿足△＜0，△≤0，?圯x=4.
　　這樣的題目，不知道該采用何種方案，先假設(shè)選x級(jí)注水方式，即預(yù)設(shè)了一個(gè)方案，然后再根據(jù)要求一步一步地探求。
　　4.尋求模型法
　　是否存在這樣的函數(shù)x∈N，使f（x）＞0，f（2）=4，且f（x+x）=f（x）?f（x），若存在，求出f（x）的解析式；若不存在，說(shuō)明理由.
　　分析：∵f（x+x）=f（x）-f（x）就可以聯(lián)想到a=a?a，這就是本題涉及函數(shù)的一個(gè)模型.
　　令x=x=1，∴f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，…，從而推測(cè)f（x）=2，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
　　5.數(shù)形結(jié)合法
　　探索某些具有幾何意義的問(wèn)題，或用純代數(shù)方法解決非常麻煩的問(wèn)題時(shí)，則可考慮采用數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題。
　　6.數(shù)學(xué)歸納法
　　這種方法被普遍運(yùn)用，限于篇幅，數(shù)學(xué)歸納法與上面的數(shù)形結(jié)合法就不再具體舉例說(shuō)明。
　　注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”