關于一元函數極值求法的幾點思考

　　摘 要： 函數極值推動微積分發展的重要動力之一，在科學技術和社會生活的各個領域中，充滿了函數極值問題。極值問題是微積分產生和發展的重要動力之一。諸如成本最小、距離最短、時間最短等問題，都可以轉化為函數極值問題。根據職業院校學生的特點，結合自己的教學實踐，本文作者僅針對一元函數展開分析，就如何求解函數的極值點問題進行初步的探討。
　　關鍵詞： 函數極值點 函數極值 一元函數 MATLAB
　　
　　函數極值是推動微積分發展的重要動力之一，在科學技術和社會生活的各個領域中，充滿了函數極值問題.極值問題是微積分產生和發展的重要動力之一.諸如能量最小、最佳擬合、最短路徑、時間最短等問題，都可以轉化為函數極值問題.確切地說，這里討論的只是“局域極值”問題，“全域最小”問題要復雜得多。至今沒有一個“系統性”的方法可求解一般的“全域最小”問題.對于一元、二元函數，可以作圖觀察，利用函數單調性，等等，但更多元的函數，就很難利用這些方法.因此，根據職業學校學生的特點，結合自己的教學實踐，我僅針對一元函數展開分析，就如何求解函數的極值點問題進行初步的探討.
　　一、利用一階導數，根據函數極值的第一充分條件列表求函數的極值點
　　定理1（極值的第一充分條件）設函數y=f（x）在x的一個領域內可微（在x處可以不可微，但必須連續），若當x在該鄰域內由小于x連續地變為大于x時，其導數f′（x）改變符號，則f（x）為函數的極值.x為函數的極值點，并且
　　（1）若導數f′（x）由正值變為負值，則x為函數的極大值點；
　　（2）若導數f′（x）由負值變為正值，則x為函數的極小值點；
　　（3）若導數f′（x）不變號，則x不是函數的極值點.
　　運用該定理求函數極值點的一般步驟是：
　　（1）確定函數定義域并找出所給函數的駐點和導數不存在的點；
　　（2）考察上述點兩側導數的符號，確定極值點；
　　（3）求出極值點處的函數值，得到極值.
　　例1.求f（x）=（x-1）x的極值
　　解：函數定義域為（-∞，+∞），
　　尋求駐點和導數不存在的點.因為
　　f′（x）=x+（x-1）?x=?
　　令f′（x）=0，得x=；當x=0，f′（x）不存在.
　　列表判別得：
　　所以，x=0是極大值點，其極大值為f（0）=0；
　　x=是極小值點，其極小值為f（）=-0.33.
　　二、利用二階導數，根據函數極值的第二充分條件列表求函數的極值點
　　定理2（極值的第二充分條件）：設函數y=f（x）在x處的二階導數存在，若f′（x）=0，且f″（x）≠0，則x為函數的極值點，f（x）為函數的極值，并且
　　（1）當f″（x）>0時，則x為函數的極小值點，f（x）為函數的極小值；
　　（2）當f″（x）<0時，則x為函數的極大值點，f（x）為函數的極大值.
　　運用該定理求函數極值點的一般步驟是：
　　（1）確定函數定義域，并找出所給函數的全部駐點；
　　（2）考察函數的二階導數在駐點處的符號，確定極值點.
　　例2.求f（x）=x-2x-5的極值
　　解：函數定義域為（-∞，+∞）.
　　因為f′（x）=4x-4x=4x（x+1）（x-1），
　　所以由f′（x）=0可得該函數的三個駐點：x=-1，0，1.
　　因為f″（x）=12x-4，
　　所以有f″（-1）=8>0;f″（0）=-4<0;f″（1）=8>0;
　　故由定理2可知x=-1，x=1為極小值點，x=0為極大值點.
　　由上述定理1和定理2可知，極值的這兩個充分條件在處理極值問題時各有獨到之處，定理1充分利用了函數單調性的特點，從函數圖形來研究函數的極值，容易被讀者接受，但是求解過程過于繁瑣；定理2充分運用二階導數，計算起來比定理1簡捷，容易運算，很多時候，我們選擇用定理2來求解函數的極值點，但定理2讀者不容易理解和記憶.因此在將這兩個充分條件教授給學生時，要注意將這兩個定理本身的內容解釋清楚.
　　同時，大家可以看到，從理論上講，假如函數y=f（x）“光滑”，那么它的極值點可以根據定理1和定理2確定，于是求y=f（x）的極值問題就轉化為求該函數一階導數的零點問題.顯然，這種方法只能處理完全“光滑”的函數.
　　現在數學教學應遵循“以應用為目的，理論知識以必需、夠用為度”原則，淡化概念，注重應用.因此，在教學過程中可以將新的解決方法例如計算機軟件引入課堂，引導學生運用現代信息技術手段解決問題.
　　三、利用MATLAB中的fminbnd程序，求解一元函數極值問題
　　因為y=f（x）的極小值問題等價于y=-f（x）的極大值問題，所以MATLAB的Toolbox函數中只有處理極小值的指令.鑒于此，我在這里只討論極小值問題.
　　Fminbnd指令具體如下：
　　X=fminbnd（fun，x1，x2）*求函數在區間（x1，x2）中極小值的指令最簡格式；
　　［x，fval，exitflag，output］=fminbnd（fun，x1，x2，options，P1，P2，…）
　　*求函數在區間（x1，x2）中極小值的指令最簡格式；
　　［說明］
　　Fun表示被解函數. x1，x2分別表示被研究區間的左、右邊界.
　　X，fval分別表示所求的極小值點坐標和函數值.
　　調用Fminbnd指令，求解函數極值的一般步驟：
　　（1）將別解函數構造成一個內聯函數對象y=inline（′（fun′，′x′）;
　　（2）x1=區間左邊界；x2=區間右邊界;
　　（3）直接調用指令［x，fval，exitflag，output］=fminbnd（y，x1，x2）.
　　現在我們來重新求解例1.
　　程序如下：
　　y=inline（′（x-1）*x^（2/3）′，′x′）;
　　x1=-inf;
　　x2=+inf;
　　［x，fval，exitflag，output］=fminbnd（y，x1，x2）
　　結果輸出
　　x=0.4000
　　fval=-0.3257
　　exitflag=1
　　output=iterations：30
　　funcCount：33
　　algorithm：′golden section search，parabolic interpolation′
　　我認為，以上三種求解函數的極值點問題的方法，各有優勢與獨到之處，教師在教學過程中不應拘泥于單一的解題思路，而要引導學生開拓思維、積極思考，結合自身的特點進行探究性學習，使自己與學生在探究學習的過程中共同成長，在幫助學生培養思維能力的同時，讓學生學會運用適當的方法分析問題和解決問題，這才是數學教學的最終目的.
　　
　　參考文獻：
　　［1］盛祥耀.高等數學.高等教育出版社［M］，2001.
　　［2］鄒楊.Mathematica軟件在經濟函數最值中的運用.科技信息（學術研究），2008，（14）.
　　［3］葉子祥.經濟應用數學［M］.高等教育出版社，2003.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文