導數與函數的單調性

　　用導數求函數的單調性是高考必考查的內容，因此弄清導數與函數的單調性的關系、單調區間的求解過程和函數單調區間的合并是十分有必要的.
　　一、導數與函數的單調性的關系
　　我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關系，才能準確無誤地判斷函數的單調性.下面以增函數為例作簡單的分析，前提條件都是函數y=f（x）在某個區間內可導.
　　（一）f′（x）＞0與f（x）為增函數的關系.
　　f′（x）＞0能推出f（x）為增函數，反之則不一定.如函數f（x）=x在（-∞，+∞）上單調遞增，但f′（x）≥0，∴f′（x）＞0是f（x）為增函數的充分不必要條件.
　　（二）f′（x）≠0時，f′（x）＞0與f（x）為增函數的關系.
　　若將f′（x）=0的根作為分界點，因為規定f′（x）≠0，即摳去了分界點，此時f（x）為增函數，就一定有f′（x）＞0.∴當f′（x）≠0時，f′（x）＞0是f（x）為增函數的充分必要條件.
　?。ㄈゝ′（x）≥0與f（x）為增函數的關系.
　　f（x）為增函數，一定可以推出f′（x）≥0，反之則不一定，因為f′（x）≥0，即為f′（x）＞0或f′（x）=0.當函數在某個區間內恒有f′（x）=0，則f（x）為常數，函數不具有單調性.∴f′（x）≥0是f（x）為增函數的必要不充分條件.
　　函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性.因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題.但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理.
　　對于f′（x）＜0與函數單調遞減關系，仿照上面的三點即可得到答案.
　　二、單調區間的求解過程
　　已知函數y=f（x），其單調區間的求解過程如下：
　　（1）分析函數y=f（x）的定義域；
　　（2）求函數y=f（x）的導數y′=f′（x）;
　?。?）解不等式f′（x）＞0，解集在定義域內的部分為增區間；
　　（4）解不等式f′（x）＜0，解集在定義域內的部分為減區間.
　　三、函數單調區間的合并
　　函數單調區間的合并主要依據是函數f（x）在（a，b）單調遞增，在（b，c）（其中a＜b＜c）單調遞增，又知函數在f（x）=b處連續，因此f（x）在（a，c）單調遞增.同理，減區間的合并也是如此，即相鄰區間的單調性相同，且在公共點處函數連續，則二區間就可以合并為一個區間.
　　四、應用舉例
　　例：求下列函數單調區間
　　（1）y=f（x）=x-x-2x+5
　?。?）y=
　　（3）y=+x（k＞0）
　　（4）y=2x-lnx
　　解：（1）∵y′=3x-x-2=（3x+2）（x-1）.
　　令y′＞0，解得x＜-或x＞1;令y′＜0，解得-＜x＜1.
　　∴函數y=x-x-2x+5的單調遞增區間為（-∞，-），（1，+∞）;單調遞增減為（-，1）.
　　注意:此題的單調遞增區間不能表示為（-∞，-）∪（1，+∞）.
　?。?）∵y′=，∴當x≠0時都有y′＞0，
　　∴函數y=的單調遞增區間為（-∞，0），（0，